PROPRIÉTÉS DU MOUVEMENT D'UN CORPS SOLIDE. APPLICATIONS

Mouvement d'un solide considéré géométriquement. — Mouvement d'un solide qui se déplace parallèlement à un plan. — Bielles et manivelles. — Mouvement autour d'un point fixe. — Somme des forces vives. — Moments des quantités de mouvement. — Déplacement d'une figure sphériqiie, joint universel. — Composition des rotations et des translations. — Mouvement le plus général d'un solide.

MOUVEMENT d'uN SOLIDE CONSIDÉRÉ GÉOMÉTRIQUEMENT.

642. Les mouvements de translation et de rotation autour d'un axe fixe, considérés au point de vue géométrique, présentent à l'esprit une image simple et très nette. Il est difficile au contraire de se rendre un compte exact de la nature des auti-es mouvements que peut prendre un solide de forme invariable; mais, grâce aux travaux d'Euler et de Poinsot, nous verrons que ces mouvements se ramènent toujours à des translations et à des rotations ou à des combinaisons de ces deux mouvements simples.

Pour définir un mouvement de translation, il suffit de donner une droite qui représente la vitesse avec laquelle il s'effectue; pour définir une rotation, on peut donner sur l'axe autour duquel elle a lieu une longueur proportionnelle à la vitesse angulaire et prise dans un sens tel que l'observateur, ayant ses pieds à l'origine de cette longueur et sa tête à l'extrémité, voie la rotation s'effectuer

(') La rédaction de cette Leçon a été modifiée par M. A. de Saint- Germain, professeur à la Faculté de Caen.

de gauche à droite ; la ligne ainsi définie est l'axe représentatif de la rotation.

Considérons un corps solide S en mouvement. Sa position à un instant quelconque peut être déterminée parcelle de trois droites rectangulaires Oia^i , 0,j', , Oj s, qui lui sont liées invariablement; il suffirait de connaître les angles que ces trois droites font avec trois axes rectangulaires fixes, Ox, Oj'f Oz, et les coordonnées a, p, Y de leur point de concours 0|.

MOUVEMENT d'uN SOLIDE QUI SE DÉPLACE PARALLÈILEMENT A UN PLAN.

643. Supposons d'abord que les trajectoires de tous les points du corps S soient contenues dans des plans parallèles à un plan donné qui sera le plan des xy ; nous pourrons prendre pour 0,.r( et 0,j^< deux droites de S qui se trouvent à un certain moment dans le plan des xy et qui n'en sortiront pas; la coordonnée y sera toujours nulle, et la direction des droites mobiles sera déterminée par l'angle cp de Oj iCi avec Ox. Soient, à l'époque t, x,y, z\es coordonnées d'un point M de S, Xi, y^, Zt ses coordonnées invariables relativement à OiXi, O^yt, Oi^r, on a

J?:=: a -f- Xl COSffl — Ji sinij),

f =1 Q -\- Xy siny + jicosy,

Les projections de la vitesse du point M sur les axes fixes seront

dx da.

dt "~ dt

(.ri siny

-JlCOSî,)--.

dy d^ ^ dt ~~ dt

( x^ ces y •

-j-,smç)- =

dt ^ 'ut

dt = '''

CIJNQUAWTJÈME LEÇOK, 287

Si l'on pose

dv. ^ d'3 ^ , d's> f/,S do , d-0

dt "^ dt ' dt dt dt dt

les projections de la vitesse prendront la forme

(^) -dt=-''^-^^dr ^ = ^"-^^¥' ^=°'

Ces formules montrent qu'à l'époque t la vitesse du point quelconque M est la même que si S tournait avec

la vitesse angulaire autour d'une droite IK perpendiculaire au plan donné et représentée par les équations X ^ a', jK == [^'. Comme a' et jS' varient avec le temps, les vitesses à l'époque t -\-dt seront les mêmes que si S tournait autour d'une droite l'R' très voisine de IK; le mouvement de S revient à une rotation autour de IK, mais seulement pendant un élément de temps, et pourvu qu'on n'ait égard qu'aux vitesses, non aux accélérations ; IK, FK' sont des axes instantanés de rotation.

644. Les droites de l'espace autour desquelles le solide tourne successivement forment un cjlindre C; de même les droites de S qui doivent tour à tour coïncider avec les premières et être momentanément immobiles sont sur un cylindre Q^ qui fait partie de S. SoitI< K) la droite qu'une rotation infiniment petite autour de IK doit amener en coïncidence avec l'K'; les droites l'K' et Ii K, sont à une distance infiniment petite du deuxième ordre et les bandes IKFK', IKI,K| sont superposables; donc Cl est toujours tangent à G et roule sur lui sans glisser, et l'on donnerait à S le mouvement fini qu'il possède réellement en le supposant lié à un cylindre qui roule sur un cylindre fixe.

Pour obtenir l'équation de C, il suffît d'exprimer que

c'est le lieu des points de Tespace avec lesquels coïncident des points de S dont la vitesse est nulle à un certain moment; en nous reportant aux équations (i) (643), on voit qu'on aura à éliminer t entre les équations

du. , r.\ dm d& , df

dt ^ ' ^ dt dt ^ ' dt

a, [3, cp étant connus en fonction de t. L'équation de G| s'obtient en éliminant le temps entre les équations

da . . , dw

— Lr, smo) H- n ces© — - = o,

dS , . ^ th

~ H- (xicosy— Jisiny) 2i

645. Le mouvement d'une figure plane qui se meut dans son plan est un cas particulier de celui que nous venons d'étudier : à une époque quelconque l la figure peut être regardée comme tournant pendant un temps infiniment petit autour d'un centre instantané de rotation I; la vitesse du point M de la figure est proportionnelle à IM et perpendiculaire sur cette droite, en sorte qu'il suffit de connaître les normales aux trajectoires de deux points pour trouver le centre instantané à leur intersection.

Soient L, L' deux positions infiniment voisines d'une ligne entraînée avec la figure mobile, E un de leurs points d'intersection; le point E, considéré comme faisant partie de L, est amené par la rotation autour de I en un point E' de L' : donc El est normale à L', et comme à la limite E est l'un des points où L touche son enveloppe, on voit que ces points sont les pieds des normales abaissées du centre instantané sur la position correspondante de l'enveloppée.

Le mouvement continu de la figure mobile s'obtient

CINQUANTIÈME LEÇON. aSc)

en la supposant liée à une courbe C^ qui roule sur une courbe fixe C; c'est toujours un mouvement épicycloïdal. Les équations de C et G, se trouvent comme celles des cylindres de même nom (644), oupar des considérations particulières.