On reconnaît d'abord que les points pour lesquels on a

■^1 Ji 2i

ont, à l'époque t, une vitesse nulle ; ils sont sur une droite 01 qui joue le rôle d'axe instantané de rotation; le mouvement élémentaire de S revient toujours à une rotation dont nous allons déterminer la vitesse angulaire 0). Soit û la distance du point M à la droite 01; on doit avoir (^ = pw ; d'autre part,

-^{r-ri — pZi)--^[pXi — qx^)-:

le second membre, on le démontre en Géométrie analytique, n'est autre que p^ multiplié par p^ -\- q^ -h r^ ', donc

Ajoutons que si l'on prend sur 01 une longueur OR égale à w, et dont les projections sur 0:c,, Oj), Oz, sont /j>, q, 7', cette droite sera l'axe représentatif de la rotation instantanée ; car si, au lieu de Oa:i, Oji, Ozi, on prenait dans S trois axes Ox\ , Oj\ , Oz\ dont le dernier coïncide avec 01 à l'époque ï, on aurait, au lieu de p, ^, 7', /?'= o, q' = G, r'=: Cl), puisque p', q\ r' seraient les nouvelles projections de OK; les formules (4) deviendraient

u\ =z — wj'j , v\ = w.r'j , (v\= o;

ce sont bien les projections de la vitesse due à une rotalion qui s'effectue par rapporta OK de gauche à droite.

650. On reproduirait le mouvement continu de S si on supposait ce corps lié invariablement à un cône Ci , lieu des droites du solide qui deviennent successivement immobiles, et si ce cône roulait sans glisser sur le côneClieu des axes instantanés dans l'espace. L'équation de C| s'obtiendra en éliminant le temps entre les équations (5), celle de G en éliminant la même variable entre les équations correspondantes

nx A- n' r -4- a" z h.r + h' y -f- /;" z c.t -|- c' y H- c" z p ^ q ~ r

Quand l'axe instantané ne change pas de position dans S, il ne se déplace pas davantage dans l'espace; en effet, puisque ce sont toujours les mêmes points de S qui sont en repos, le mouvement n'est qu'une rotation autour d'un axe fixe. Ainsi l'axe de rotation de la Terre change de direction dans l'espace, ce qui constitue le phénomène de la précession des équinoxes ; il doit aussi se déplacer à l'intérieur de la Terre, et le pôle n'est pas absolument fixe à la surface du globe ; mais on démontre qu'il décrit un cercle de o™, 28 de rayon seulement

En général, on a

Tri "P + ''-"■/ "^ ^'~

cosIO^ = • ,

cosIOj = 3

a"p-^h"Q -^r"r cosIOz= -:

ces fractions sont constantes quand —■,-■>- le sont

www

elles-mêmes.

651. Si, à l'époque f, Oa:<, Oj\, Oz< coïncident avec Oo:, Oj', Oz, «, Z>', c" sont égaux à l'unité, les six autres cosinus à zéro; les relations (1) et (3), 618,

CINQUA^^T1ÈME LEÇON. 2^0

prennent une forme simple qui sera utilisée plus tard :

da db' de"

dt di dt '

dh" dt

de'

~ dt

de da"

dt - dt —'^'

da' db

Les valeurs de -— r —ri -r deviennent identiques à dt dt dt ^

celles de i<i, v^^ W\,

dx dy dz

dt ^ "^ dt ^ dt ^^ ^

En général, lorsque l'axe d'une rotation w fait avec des axes coordonnés les angles X, u, v, les composantes suivant ces axes de la vitesse d'un point (j?, j^, z) sont

&)(zcos/:/. — jcosv), &)(j:cosy — 2Cos)v), wf^/cosX — a;cosf-i).