MOMENTS DES QUANTITÉS DE MOUVEMENT

653. Prenons les moments par rapport aux axes Ox^ , Oji, Oz, de la quantité de mouvement /tzp- du point m, comme si c'était une force (qu'on remplacerait, dans la théorie des couples, par une force égale et parallèle appliquée à l'origine et un couple).

Le moment de mp» par rapport k Oxi est

'«("'iJi— ''i^i), ou

La somme des moments des quantités de mouvement de tous les points du corps par rapport à Ox) est donc

mxi^z^.

Cette somme se réduit à Ap, en supposant que les axes Oxi, Oj^i, 0^1 soient les axes d'inertie principaux du corps pour le point O. Ainsi, en nommant A, B, C les trois moments d'inei^tie principaux du corps pour le point O, Ap, B^, C?' sont les sommes des moments des quantités de mouvement des points du corps par rapport aux axes principaux.

Dans la théorie des couples, ces moments sont ceux de trois couples agissant dans les trois plans coordonnés XjOji , .... Ils donnent un couple résultant dontle moment

G = y'A^p^H- B^ ^2+ C^ r^ : la perpendiculaire à son plan fait avec les axes Oxi, Oji, Ozi des angles qui ont pour

Ap B<7 Cr T-, -r. . , ,

cosinus —7-? -^? -—•M. Pomsot a remarque que ce plan G G G

est le plan diamétral conjugué au diamètre de l'ellipsoïde

central

qui est dirigé suivant l'axe instantané.

En effet, soient x' , y', z' les coordonnées par rapport aux axes O^i , Oy^ , Oz, du point N où l'axe instantané rencontre l'ellipsoïde central : on a

P ~ q ~ r^ et aussi, puisque le point N est sur l'ellipsoïde,

Le plan tangent en ce point N a pour équation

Kx' X -^ Bj'y -T- Cz' z = j ; le plan diamétral conjugué à* ON a pour équation

Ax' X -+- Bj'j H- G z' z :^ o,

Apx -t- Bqj H- Crz = o.

La perpendiculaire à ce plan diamétral fait avec les

axes Oxf, OjKi, Ozi des angles dont les cosinus sont

Ap Bq Cr ^ 1-1 1.1

TT' "?r' TT* iJonc ce plan est celui du couple résultant. G G G ^

GSi. Si l'on prend des axes fixes quelconques, on aura la somme des moments des quantités de mouvement par rapport à l'axe Oûs d'après les lois connues de la composition des moments ou des couples, en multipliant les moments Ap, Bc/, C/- relatifs aux axes Oxi, Oj'i, Ozi

248 COTJPiS DE MÉCANIQUE.

par les cosinus a, 6, c des angles que O x fait avec ces axes et ajoutant, c'est-à-dire que

/ dz. clv\

MOUVEMENT d'uNE FIGURE SPHÈRIQUE. JOIKT UNIVERSEL.

655. Une figure sphérique qui se meut sur sa sphère peut être regardée comme liée au centre, c'est-à-dire à un point fixe; tout mouvement élémentaire de la figu.re est une rotation autour d'un diamètre de la sphère, ou autour d'une de ses extrémités I qu'on appelle pôle instantané; les vitesses des divers points M sont normales aux arcs de gi^and cercle MI, et proportionnelles aux sinus de ces arcs. Tout mouvement continu est un mouvement épicycloïdal sphérique.

Pour transmettre le mouvement de rotation d'un arbre à un autre arbre qui coupe le premier sous un angle obtus, on emploie souvent le joint universel ou joint de Cardan. Au lieu de prolonger les arbres jusqu'à leur point de rencontre O, on les termine par des fourchettes demi-circulaires et égales, APA', BQB', dont les diamètres AA', BB' se coupent en O ; un croisillon AA'BB', à bras égaux, est articulé à la fourchette P en A et A', à la fourchette Q en B et B'; le mouvement de P entraîne celui du croisillon dont le centre est fixe, et le croisillon entraîne l'arbre Q. Cherchons le rapport des vitesses angulaires to, w' des deux arbres.

Si du point O comme centre on décrit une sphère dont le rayon soit égal à un des bras du croisillon, que je

prends pour unité, les points A et B i^fig. 174) se

meuvent sur des arcs de grand cercle CAC, CBC dont les pôles sont P et Q; menons l'arc de grand cercle AB, qui est égal à un quadrant. Le pôle instantané autour duquel tourne AB est à l'intersection I des arcs PA, QB normaux aux trajectoires de A et de B. Les vitesses de A

et B mesurent les vitesses angulaires co, co', et nous

avons

w sinlA sinIBA M sinlB siiiIAB

Dans le triangle sphérique ABC, on a Az=IAB — ~, B = IBA-4--,

donc

sinB := sinZi sinC,

i B = — ^ I — sin^ B , CCS A

cosC

cosB sin-B sin-C

cosA

cosC

Ce rapport reste compris entre cos C et

cosC

s'éloigne très peu de l'unité si l'angle des axes est voisin de 180 degrés.