COMPOSITION DES TRANSLATIONS ET DES ROTATIONS
>. Lorsqu'un solide est animé de plusieurs mouvements simultanés, suivant une expression adoptée en Géométrie, la vitesse d'un de ses points est la résultante des vitesses dues à chacun des mouvements donnés, et
sa projection sur un axe est la somme des projections des vitesses composantes. Nous allons chercher à remplacer les mouvements simultanés par un mouvement résultant.
Il est évident que le mouvement résultant de plusieurs translations est une translation dont la vitesse est la résultante des vitesses des translations données.
Supposons le solide animé de deux rotations ; l'axe représentatif de l'une étant égal à p et dirigé suivant l'axe des z, l'axe de la seconde égal à y et dirigé suivant la droite ^ = a, y = o parallèle à O^. Reportons-nous aux formules (2), 643, et ajoutons les projections des vitesses dues aux rotations composantes, nous trouvons pour la vitesse résultante
dx
dt
py— qy=--— [p-^ q]y^
dz
dt
Le mouvement résultant est une rotation dont l'axe représentatif se déduit des axes des rotations composantes comme la résultante se déduit de deux forces parallèles; si p et q ne sont pas de même signe, c'est que les rotations ne se font pas dans le même sens, mais l'identité avec la composition des forces parallèles et de sens contraire subsiste. Le cas correspondant aiix couples est celui de q = — /?; alors les projections de la vitesse deviennent
dx
dj
dz
dt
— =z pot.,
dt ' '
dt
un couple de rotation est équivalent à une translation dont la vitesse, égale au moment du couple, est perpendiculaire à son plan.
CIÎIQUAWTIÈME LEÇON. 23 I
Soit un corps animé de plusieurs rotations dont les axes concourent à l'origine et ont respectivement pour projections sur les axes coordonnés yy, qj.r, p' , q' , . . ,; la vitesse du point {x,y, z) a pour projections (651)
dx
dj dt '
dz dt
Le mouvement résultant est donc une rotation dont l'axe représentatif a pour projection la somme des projections des axes des rotations données ; c'est dire qu'il se déduit des axes donnés comme la résultante se déduit de forces concourantes. En particulier, trois rotations dont les axes concourent ont pour résultante une rotation dont l'axe est la diagonale du parallélipipède construit sur les axes proposés : inversement, une rotation peut toujours être remplacée par trois rotations simultanées.
657. La position des droites 0.3?), Or,, Ozf (648) est définie par neuf cosinus entre lesquels existent six relations ; ces cosinus peuvent donc s'exprimer en fonction de trois variables indépendantes. Soient OL l'intersection du plan Xj, Oj^, avec xOj', 'h l'angle icOL, cp l'angle LO;r,, 8 l'angle des plans Oxy^ O^jj^, ; a, b^ c ne sont autres que les projections suivant Oxi, Oj), O^i d'une droite égale à l'unité et comptée sur O^; or la projection de cette droite sur un axe est égale à la somme des projections de deux droites, l'une égale à cos^j^ suivant OL, l'autre égale à — sind» suivant une droite du
plan xOy faisant avec Ox l'angle ^ -^ — ; on trouve
2t)2 COURS DE MÉCANIQUE.
aisément les formules très générales
a = cos-^cosç) — sin-^ cos9 sinç), h ^^ — cosi^ sin© — sin-^ ces 9 coso. c ^^ sin-^ s'inO.
Si on remplace 0.27 par Oj', ou '^ par (L — -■, on
trouve
<2' = sin-^ cosy H- cosij/ cosO siny,
è' = — sin-i/ sin^ H- cost|/ cos9 cosç, c' = — cos^p sinô;
enfin, en projetant une longueur égale à l'unité prise sur O^,
(i) «" = sin(9 siny, Z'^'r^ sin(5 cosy, c"^cosO.
608. On pourrait calculer/», q, r en substituant dans les formules (3) du n° 648 les cosinus et leurs dérivées;
mais la rotation to peut être regardée comme résultant de
, , . d-h . ^ de .
trois autres dont les axes seraient —r suivant O^, — sui-
dt ' dt
vaut OL, — ^ suivant O^i", p, q, r sont les projections
de to sur O^i, Oy^, Oz-^, ou, ce qui revient au même, les sommes des projections des axes composants, et l'on a immédiatement
/? = sin 9 sin 9 1- cos es — ,
. db . dO
q =3 cosï' sm5 — ■ snio ■ — ,
' ^ dt ' dt
r = —^ -f- cos (5 — -• dt dt
De ces équations on peut tirer
d^ ... dl
l cl^ . . d-h
\ -— ■= p cosca — q snio, suit) ~ =z p sine? H- q cos»,
y dt .Ai ^^ j , j. i
\ do , . ^ ^
f -j- = r — [p sm(f -{- q cos y) cotO.
CIJNQUAWTIEME LEÇOJN. 230
MOUVEMENT LE PLUS GÉINÉKAL d' UN SOLIDE.
). Considérons enfin un solide S animé d'un mouvement quelconque. Par un point Oi, pris à volonté dans S, je mène trois droites qui restent parallèles aux axes fixes; le mouvement relatif de S par rappoi^t à ces parallèles est celui d'un solide qui aurait un point immobile en O), c'est-à-dire que, pendant un temps infiniment petit, il se réduit à une rotation autour d'une droite 0,1; donc le mouvement élémentaire de S résulte d'une translation dont la vitesse est celle de O, et d'une rotation autour d'un axe passant par ce point. L'axe représentatif de la rotation a toujours la même grandeur et la même direction; mais sa position, ainsi que la vitesse de la translation, change avec le point O,.
Mozzi trouva une représentation plus précise du mouvement considéré. Supposons qu'à lépoque t l'origine des axes fixes coïncide avec 0<, et l'axe des 5 avec 0,1; soient /, m^ n les composantes de la vitesse du point O, ; la vitesse d'un point (x, jv, z) résulte de la translation correspondante et d'une rotation to autour de Oz; ses composantes sont donc
l— coJ= — M Ijr ),
Le solide se meut comme s'il tournait avec une vitesse angulaire w autour d'une parallèle à O^, en même temps qu'il glisserait avec la vitesse ?i le long de cette droite; ce double mouvement est celui d'une vis dans son écrou^ ou un mouvement hélicoïdal.
254 coulis DE MÉCAIN'IOUF.
ROTATION D'UN CORPS SOLIDE AUTOUR D'UN POINT FIXE (suite). — MOUVEMENT D'UN CORPS SOLIDE LIBRE. '
Equations du mouvement. — Cas où il n'y a pas de forces motrices. — Plan invaiiable. — Mouvement de l'ellipsoïde central. — Lieu des axes instantanés dans le corps. — Lieu des axes des couples résultants. — Mouvement d'un corps solide entièrement libre.
