ÉQUATIONS DU MOUVEMENT
C60. Supposons maintenant que des forces motrices données agissent sur le corps solide. Désignons par X, Y, Z les composantes parallèles à des axes fixes de la force appliquée à la molécule ni qui a pour coordonnées x, y, z.
D'après le principe de d'Alembert, les forces perdues
d^x X — -m — —9 ••• doivent se faire équilibre autour du dt ^
point fixe O : il faut et il suffit pour cela que la somme de leurs moments, par rapport à chacun des axes fixes, soit égale à zéro, ce qui donne les trois équations
ta
y de
dt"-
1 dKx
^ df^
l dt-^
^ de
0) { >,'"(^:77r-^-^j=Mp
dKT\
en désignant par L, M^ N les sommes de moments des forces motrices par rapport aux axes fixes. La première des équations peut s'écrire ainsi :
d \} I dz dr
dt Aa " \ di dt
Mais on a trouvé plus haut (654)
V^ l dz dvX
Z^ \ dt dt } ' ''
Donc on a
y {kpa -f- 'S>qh -\- C/y) = L,
ou
r//j , dq dr dri db „ de
' ' dt dt dt dt ^ dt . dt
Faisons coïncider les axes fixes avec les axes principaux du corps Oxi, 07-1, 0^1, pris dans la position qu'ils occupent au bout du temps t. Nous aurons alors
da dh de
en même temps il faut remplacer L ou 7 m (Zj — Yz)
par la somme des moments des forces données par rapport à l'axe Oxi, que nous désignerons par Lj. L'équation (2) devient
(3) A^-l-(C-E)ryr=L,,
et les deux autres équations (i) donnent de même
(4) B^ + (A-C)/pr = M,,
Ce sont les formules d'Euler : Li, Mj, Nj, désignent les moments des forces motrices par rapport aux axes principaux du corps à l'époque t.
6131 . On les obtient encore de la manière suivante. D'après la composition des moments ou des couples
analogue à celle des forces, la somme Ap des moments des quantités de mouvement par rapport à l'axe Oxi est égale à la somme des moments par rapport aux axes fixes multipliés par les cosinus a, a', a" des angles que Oxi fait avec ces axes fixes. Ainsi l'on a
\^ f dz flrX ,\^ ( rl.T clz
Ap=: a y m [y z-— -l-fa \ m [ z — x -—
^ Li \ dt dl j Zj \ dt dt
//V [ dy d.nn
Z^ \ ^^ -^ dt
et, en différentiant,
djj \\ [ d-'z d''r\ \y I d\T d'^
dt Zu \ d'J dt' J Zj \ df dl-
I d'y d^x\ da V / dz dr\
''X^^-'^iû^]-^ -dtL"'\^ Tt- ' tt)
dn' \^ I dx- dz\ da" \^ I dy dx.
dt Zj V dt dt ) dt Zà \ dt ^ dt !
ou d'après les équations (i)
dt dt ^ \ dt dt
da' V^ / dx dz \ da" \^ / dy dx
dl ^" \ dt dt) dt 2u \ dt dt
Si l'on fait coïncider les axes fixes avec les axes Oxi, Oji) Ozi, au bout du temps t, cette équation deviendra
car, dans cette coïncidence, on a
da da' da"
L devient Li et les sommes des moments des quantités de
mouvement
dz dy''
^•^ dt dt
deviennent celles qui se rapportent aux axes Oxi,Ojyi, 0^1, c'est-à-dire A/?, B^, C;' (653).
CAS ou IL n'y a pas DE FORCES MOTRICES.
662. On intègre facilement les équations d'Euler quand il n'y a pas de forces motrices ou qu'elles se font équilibre autour du point fixe. On a
Multipliant par /?, q^ /'et ajoutant
kpdp + ^qdq + Crdrz=^ G,
d'où
(2) A/>= + B72-i-Cr2 = /.,
h désignant une quantité positive, puisque A, B, C sont positives. Cette équation s'obtiendrait encore en exprimant que la force vive est constante, d'après le principe général sur. le mouvement des systèmes où il n'y a pas de forces motrices.
663. jMulliplions les équations (i) par A/?, B^, C/', ajoutons et intégrons. On aura
(3) k'p- +Wq'-^Or'' = G\
G étant le moment du couple résultant, on en conclut que ce moment est constant.
Stlrm. —Méc. II. ^7
2 58 COUES DE MÉCANIQUE.
Ces deux équations donnent
B (B— A) En substituant les valeurs de p el de q dans l'équation
at on en tire
^, ± C y/ÂBr/r
(5) dt ^
^[G^' — B^H-(E— C)Cr][A/i— G--' + (C — A)Cr^]
équation dont l'intégrale dépend des fonctions elliptiques, mais qu'on peut obtenir sous forme finie si deux des moments d'inertie A, B, C sont égaux ou si G^ est égal à l'une des quantités AA, B/i, Ch.
