L'axe instantané 01 fait avec les axes Oxj, Ojj

Ozi des angles dont les cosinus sont -? -•> -• Donc

cos 10, Q) = -1-L^^L^

wcos(10, Q) = — ^ = -,

quantité constante qui représente la composante de la vitesse angulaire autour de l'axe tixe du couple résultant des quantités de mouvement.

668. Le plan du couple résultant G étant invariable, prenons-le pour plan des xj". On aura

An cos (G, O-r,) = coszOj:, = a"z^ — f- ,

cos (G, Oji) = coszOj,= b" = —^5

ces (G, Ozi) = coszOz, = c" = — -;

d'où [formules ( r ) du n° 6S7]

• « • Ap . „ Bq „ Cr

smQsinif = -—-■) sm 9 cos a> = — - , cos 9=—--' G G G

Ces formules s'accordent entre elles, car en ajoutant leurs carrés on a

la troisième donne la valeur de 9. Des deux premières

on lire

A/j tangy = — .

Si l'on élimine d9 entre les équations (i) du n° 658, . on aura

sin^ô^/i]/ =: sinBsin'fpdt + sin9cosç qdi.

d'où

d-h = — G dt ,

puis on remplace dt par sa valeur en fonction de /'.

Comme /? — C/'^ et G" — C^/'^ sont positives, —-sera tou-

jours négative, c'est-à-dire que OL tourne toujours dans le même sens.

Le choix du plan invariable réduit les constantes arbitraires à quatre, savoir 7^, C et les deux constantes introduites par l'intégration de cit. et de d^. Il y aurait bien six constantes, puisqu'il y a six variables p, q, r, (|/, cp, Q. Mais deux sont nulles, l =:^o.l' = o.

669. L'axe instantané de rotation est le diamètre conjugué au plan du couple résultant des quantités de mouvement dans l'ellipsoïde central (653).

La somme des forces vives est A/?" -h B*^- -H C/'

onh. D'un autre côté, elle est égale à w^ \77zp-

A étant le demi- diamètre ON de l'ellipsoïde central qui coïncide avec l'axe instantané. Donc

c'est-à-dire que la ^vitesse angulaire est proportionnelle au demi-diamètre qui va du centre au pôle instantané de rotation.