CAS DES PETITES VIBRATIONS

682. Les équations (2) sont réductibles à la forme linéaire et intégrables quand on suppose les vibrations trèspetites. La longueur de NN' étant dx dans la position d'équilibre, elle est devenue J5 quand, cet élément occupe ]a position MM' : sa tension est xs dans le premier cas et T dans le second. Or l'expérience montre que l'allongement d'un fil homogène et d'une épaisseur constante est proportionnel à l'accroissement de tension, quand cet acci^oisseraent est faible, et sa longueur primitive. Donc q étant un coefficient constant pour la même corde, on a

. ^ ^ ds — dx

Comme la corde n'exécute que des vibrations irèspelites et que les tangentes à la courbe AMB font des

ani^ies tres-petits avec ia droite AtJ, les quantités -^i —

^ '■ ' ^ ds ds

sont à peu près nulles, et l'équation

donne alors

ds =^ dx -{- dit.

La formule (i) devient donc , , du

dx

On remarquera d'ailleurs que l'allongement ds — dx ou du qu'a éprouvé la partie dx du fil est une petite

fraction de dx^ de sorte que le rapport — est toujours

„ d.r. d[.T.-\-ii\ ,,^,„ , ,

tres-petit. JJonc -r- comme — ^ — diilere tres-peu de

^ ds d ^

l'unité et, dans la première des équations (2) du n° 681,

, r/(.r + «) ^ , , , .du

d i — - peut être remplace par d 1 , puis par d.q — "

à cause de l'équalion (2).

Cette équation devient donc, en posant, pour abréger,

Ja quantité constante - — = a', P

^ ' dt' dx'

683. Pour le mieux voir, on peut écrire la première équation (2) du 11° 681 ainsi :

d.r -1- du dT I dx -1- du \ „ ds p d- a

dx \ ds ) dx el dt

dx -4- du

dx + du ,.,,., , 119./ ds

; diiiere tres»peu de 1 nniîc et — ^ est

as '- dx

Stirji. — 3Iee. II. 18

2 '74 COXJnS DE MÉCANIQUE.

négligeable, car en différentiant réquation

dx -f- (la \^ f dr\'^ l dz\'

ds j \ ds I \ ds

on a

dx H- du dy dz

dx -J- du ds dy ds dz ds

ds dx ds dx ds dx

dx -1- du d-

ce qui donne du même ordre de petitesse-nue

^ ds ^ ^

dv dz

-- et - " as «.y

684'. On transformera d'une manière analogue les deux autres équations (2). On a

dy dy dx dy ds dx ds (Ix

car — est sensiblement égal à l'unité. Ainsi on peut pren-

. ^dy ,, -, r^dy ( du\ dy ^ dy

dreT — au lieu de T -4- ou cy -i- o — - M^^ ou enfin u -—

dx ds \ dx J dx dx

, ,, du dy . . du

en négligeant - — r-i ce qui est permis, parce que — - et

ClJC ClJC CLjC

dv . „ ,

-^ sont petits. Un a donc dx ^

ds / dx

et la seconde équation du système (2) devient, en faisant, pour abréger, - — = a-".

d'^ y ^fi"^ Il

dl ^ dx''

La troisième équation se réduit de même, en sorte

CIKQUAKTE-DEUXIÈME LEÇON. 2n5

qu'on a les trois équations

fP u d'il cV-y d- Y d'^ z d- z

(à. ) —-,- =: a^ -— - , --V = «^ -TT ' ""^ = '■^ ~T-; ■) ' ' ' dt^ dx- dt- dx- lit- dx-

pour déterminer ?/, y ç.1 z en fonction de x et de i. Les variables t<,j'", .2 étant séparées dans ces équations, on eu conclut que les mouvements des points de la corde parallèlement aux axes seront indépendants et coexisteront sans s'influencer mutuellement. Pour une valeur arbitraire de X la première équation, par exemple, donnant une valeur de u en fonction du temps, les deux autres sont satisfaites en supposant j^ et z nulles 5 alors chaque point de la corde a un mouvement vibratoire sur Taxe AB dont il ne s'écarte pas.

685. Les vibrations qui se font suivant AB sont dites longitudinales et celles qui sont parallèles à Kj et As sont appelées transversales. Ces dernières seraient les mêmes parallèlement à Ky et Kz si les valeurs initiales de z et

de — étaient les mêmes que celles de r et de -^ • D'ailleurs

at *■ -' dt

les équations (4) étant de même forme, il suffit d'intégrer lîne d'elles.