L'équation

dt- dx'^

a pour intégrale générale

( 2 ) y zi^ ta [^x -^r ut) -\- -h [x — at)y

q et t^ étant deux fonctions arbitraires qu'il s'agit de déterminer. Pour cela il faut connaître à l'origine du temps la courbe formée par la corde et la composante de la vitesse de chaque point parallèle à l'axe desj^.

2j6 COUTiS DE MÉCANIQUE.

Soit donc pour f = o,

Introduisant cette hypothèse dans l'équation précédente et dans sa dérivée par rapport à f, on aura

De cette dernière on lire

Intégrant celte équation par rapport à x et posant, pour abréger,

(6) - /7,(x-)r/,r=:F,>'), il vient

(7) ^[:r)--^{,v) = Y(œ) + G, Des équations (4) et (7) on déduit

Substituant X H- <7i à x dans cj) (x) etx — at dans ^ [x), puis faisant la somme des deux fonctions, on aura la valeur de j^, où C n'entrera pas.

687. Mais il faut remarquer que par les deux dernières équations les fonctions ^ et ^ ne sont connues, comme f{x) et F(x), que pour des valeurs de la variable x comprises entre zéro et /; or on a besoin de les connaître au delà de ces limiies, car x devant être remplacée par X -f- at et x — flf, ces nouvelles variables pourront

CIKQUAMTE-DEUXIÈME LEÇOM. O.'jrj

dépasser les valeurs zéro et /, puisque le temps t peut croître indéfiniment. Pour déterminer les fonctions ç et ti au delà de ces limites, nous allons exprimer que les points A et B sont immobiles.

Pour le point A on aura, quel que soit t,

<f{at) + t{'( — at) = o.

Posant at = ^, cette condition devient

Pour le point B on aura aussi, à un instant quelconque,

ç ((^) et tp [^) sont connues pour les valeurs de ^ comprises entre zéro et /.

La dernière condition donne

^[l — (^) est connue pour les valeurs de ^ comprises entre zéro et /, puisque / — ^ se trouve alors comprise entre les mêmes limites. Donc ''f (^H-<^) sera aussi connue pour les mêmes valeurs de i^. Par conséquent, si l'on pose

cf (^') sera connue pour les valeurs de ^' comprises entre /et 2I. Mais celte fonction étant déjà connue pour les valeurs de ^' entre zéro et /, le sera donc pour toutes celles comprises enti^e zéro et 2/.

>. Si dans la condition (9) on remplace ^ par /-f- {^, elle devient

Mais

2^8 COUr.S DE MÉCAJNIQUE.

donc

Donc la fonction (f [^) est périodique et a pour période 2 /, et comme on connaît cette fonction pour toutes les valeurs de la variable comprises entre zéro et 2/, elle sera donc connue pour toutes les valeurs de 1^ positives ou négatives.