NOEUDS DE VIBRATION

693. Il y a des cas où la corde, en raison de son étal initial, se partage, pour ainsi dire, spontanément eu

aSo COURS DE MÉCANIQUE.

un certain nombre de parties égales vibrant à l'unisson et dont les points de séparation, appelés nœuds, restent immobiles pendant la durée du mouvement. Alors le son s'élève proportionnellement au nombre de ces parties. Nous allous en donner un exemple. Reprenons l'équation

^ ^ dt- "' dx' '

Les dimensions et la tension de la corde étant données, on peut disposer de sa figure et de la vitesse initiale de chacun de ses points, de telle sorte que son mouvement soit représenté par une équation de la forme j'" = 0X, 0 étant une fonction de t et X une fonction de x seulement. En effet, pour que l'équation (i) soit vérifiée, il faut que l'on ait

Comme le premier membre est fonction de x seulement et le second de ?, l'égalité ne peut avoir lieu qu'autant que les deux membres se réduisent à une même constante — A^. On aura donc

(3) — hA-^X = o.

Comme on ne veut qu'une intégrale particulière, prenons

(4) X = sin^-^.

La fonction B se déterminera ensuite par l'équation

d'où l'on tire

0 = 0 co%akt 4- G' ûnakt .

CINQUAINTE-DETJXIÈME LEÇON. 28 I

et, par suite,

y =: sm/îJc[Ccosa^t -i- C sina/u).

En faisant t = o, nous aurons pour la figure initiale de la corde

(6) j = Csm/i.v

et nous pouvons faire que la vitesse initiale soit nulle, en supposant nulle la constante C. Le mouvement de la corde est alors représenté par l'équation

{-]) j z=Csm/ix cosa/,t. - .

Il faut encore exprimer que les points A et B restent toujours fixes. Or pour x =^ o, on a bien j = o, quel que soit ï; mais si l'on veut que j = o, quel que soit t, pour x= l, il faut faire /f/= mv:, m étant un nombre entier

quelconque-, on en déduit k = -^ -, et le mouvement de

la corde est représenté par l'équation

riiTcx ninr-t (8) jr = G sm -y- cos — ^ — •

Ainsi la corde ayant, sans vitesse initiale, la forme de la courbe J =^ C sin " ? si on l'abandonne à ellemême, elle effectuera une suite indéfinie de vibrations isochrones dont la loi est donnée par l'équation (8).

694. On sait que j doit être une fonction périodique du temps. En, effet, ici, jy reprend la même valeur quand t

croît de — — ■ Ainsi dans cet exemple r et -^ sont les ma LU ^ij^

mêmes quand le temps augmente de la période — — •> et le nombre de vibrations effectuées dans l'unité de temps sera m —5 c'est-à-dire m fois celui qui correspond au

son le plus grave de la corde, déterminé par la théorie générale.

695. Nous allons démontrer que dans ce cas la corde se partage spontanément en m parties égales qui vibrent comme si elles étaient séparées, de sorte qu'il y aura m — I nœuds de vibrations. En effet, on obtiendra tous les points qui resteront immobiles pendant toute la durée du mouvement en posant

sin = 0 ou jT z=z — /,

i étant un nombre entier quelconque plus petit que w . On en conclut quej)" est nulle pour les valeurs de x

quel que soit t.

On pourrait, sans considérer un exemple particulier,

choisir les fonctions y( a:) ei fx[x) telles, que cp (i^) et

tl/(n redeviennent les mêmes, non-seulement lorsque ^

croît de 2/, mais encore lorsque cette variable croît dun