PRESSION D UN LIQUIDE SUR UNE PAROI PLANE

715. Soient AB une paroi plane, placée comme on voudra dans le liquide, w l'aire d'un élément de la surface AB

et z la distance de w au niveau supérieur NN'. La pression que supporte w est gpzo), en faisant abstraction de la pression atmosphérique. Les pressions exercées par le fluide sur tous les éléments w étant normales au même plan AB, ont une résultante égale à leur somme

gp\ zw et normale au plan AB. En désignant par b

l'aire de la paroi AB et par z^Ja distance de son centime de

gravité au planNN', on a\ s« = bz^. Donc la pression

totale sur la paroi A3 est égaie à gpbzi, c'est-à-dire égale au poids d'un cylindre de liquide qui aurait une base égale à la surface de la paroi et une hauteur égale à la distance du centre de gravité de cette paroi au niveau supérieur du liquide.

• Le point d'application de la résultante des pressions exercées sur la surface AB est appelé centre de pression. Il coïncide avec le centre de gravité si le plan AB est horizontal 5 il est au-dessous du centre de gravité quand le plan est incliné, parce que les pressions exercées sur les éléments w augmentent en intensité avec la profondeur

CIlN'QUANTE-QtlATRîÈME LEÇON. 3o I

de ces éléments. Un exemple va montrer comment on peut déterminer le centre de pression.

716. Supposons que la paroi immergée ait la forme d'un trapèze dont les côtés parallèles AB, CD soient ho- Fig. ,83. rizontaux. Le centre de pression

Q doit évidemment se trouver sur

la droite GH qui joint les milieux de ces deux côtés. Décomposons ce trapèze en une infini té d'éléments tels que EFE'F' par des droites parallèles à AB. Désignons EF par p" et par u la perpendiculaire MN abaissée du point M sur AB. On a EFF'E' = ^^du et la pression supportée par cet élément est g p zudu. En nommant «j la distance du centre de pression I à AB et h la hauteur du trapèze, on déterminera u^ par l'équation

zvudu

ou

zvdu -.=

zvudu.

Il faut maintenant exprimer z et (/ en fonction de u. Or si l'on désigne par a l'angle que le plan du trapèze fait avec un plan horizontal et par c la distance du côté AB à la surface du liquide, prise pour plan des xj^ on a, en projetant MN sur la verticale élevée par le point M,

D'ailleurs, menons BK parallèle à AC et prolongeons EF et CD jusqu'en L et en K; les triangles semblables BDK, BFL donnent, en posant AB = a, CD = h,

3o2 COURS DE MÉCANIQUE,

d'où

(3 f = a-\ ~ — II.

Substituant les valeurs précédentes de ^ et de t^ dans l'équation (i) et intégrant, on en tire

. Q.hc[a + ib) -h h'^[a -\-Zab]ûnoL

' 6c («+ è) -h a// (« -h 26) sina