Si le côté AB est à fleur d'eau, on a c = o et

Quand le trapèze est horizontal, on a

Sina = Q,

3(a-i- 6) et le centre de pression coïncide avec le centre de gravité.

718. Quand la surface plongée dans le liquide est courbe, la pression totale qu'elle supporte n'est pas la somme des pressions exercées sur ses éléments, parce que celles-ci ne sont pas parallèles. En général ces pressions n'ont pas de résullanie unique et se réduisent à deux forces non situées dans le même plan ou à une force et un couple.

PRINCIPE d'arCIÏIMÈDE.

719. Quand un corps pesant est plongé dans un liquide, les pressions exercées sur sa surface ont une résultante unique^ égale au poids du liquide déplacé et appliquée au ceiitre de gravité de cette partie du fluide ^ supposée solidifiée.

Supposons d'abord que le corps soit entièrement plongé dans le fluide et considérons un élément quelconque w de sa surface. So'iX. p la pression, rapportée à l'unilé de surface, exercée en ce point -.poi est la pression supportée

CINQTJAINTE-QUATRIÈME LEÇON. 3o3

par l'élément w. Désignons par 1, (j., v les angles que la Pig. 184. normale fait avec trois axes

rectangulaires. Les composantes de pw suivant ces axes sont ptxi cosX, p(ji cosp, ptù cosv, ou pa^ pb, pc, en appelant a, b, c les projections de l'élément o) sur les trois plans coordonnés.

Or toutes les composantes telles que pa se détruisent deux à deux. En elïet, le petit cylindre wa prolongé découpe sur le côté opposé de la surface un petit élément w' dont la projection sur le plan j Oz est égale à a. La pression sur w', rapportée à l'unité de surface, est p, parce que 0) et co' sont à la même profondeur. Donc la composante de la pression totale pw' exercée sur w' et parallèle à Ox est égale à pa, et comme elle agit en sens contraire de celle qui s'exerce sur w, elle la détruit. On verrait de même que toutes les composantes parallèles à Oj" de toutes les pressions se détruisent deux à deux. Il ne reste donc plus à considérer que les composantes verticales.

Le petit cylindre vertical dont la base est w découpe sur la partie supérieure de la surface un autre élément Wi dont la projection sur le plan xOj esl c. Doue si p^ est la pression en Wi, rapportée à l'unité de surface, le petit cylindre o) Wj est soumis à une pression verticale s'exerçant de bas en haut et égale à [p — /'i) <^? et comme p:= g p z -h vj, cj étant une constante, on aura

en appelant p la densité du fluide supposée constante, ^i le z de l'élément 03i, Z la longueur du petit lilet cylindrique compris entre w et ojj. Cette pression équivaut donc au poids du fluide dont ce petit filet tient la place. Eu décomposant le corps en filets verticaux iniiniment

3o4 COURS DE MÉCANIQUE.

minces, chaque fî!et est pressé de bas en haut par une semblable force, et l'on conclut de là que toutes les pressions exercées sur le corps se composent en une seule force verticale agissant en sens contraire de la pesanteur, égale" au poids du fluide dont le corps tient la place et appliquée au centre de gravité de cette masse fluide. La résultante de toutes ces pressions se nomme la poussée du fluide.

720, Le principe d'Archimède subsiste quand le corps u'estplongé qu'en partie dans le fluide. On verrait d'abord,

comme précédemment, que les pressions horizontales se détruisent; puis, si le cylindre vertical w'co'j a une partie en dehors du fluide, les composantes verticales des pressions exercées en w' et w'i seront p' = [gp z + xs)c eiuc^ de sorte qu'en prenant leur différence, la partie commune disparaîtra et la pression sera égale au poids d'un volume de liquide égal à la partie dû cylindre plongée dans le liquide.

721 . Le théorème d'Archimède a encore lieu quand la densité p n'est pas la même à toutes les profondeurs, car les pressions horizontales se détruisant, la pression verticale supportée par le cylindre w Wj serait

en observant qu'on a toujours

P= \ gpciz-^xj,

iJ a

a étant la valeur de z pour laquelle on a p =X3. Or

g pcdz est le poids du fluide déplacé.

CINQUAKTE-QUATRIÈME LEÇON. Oô5'

722. Le principe d'Archimède peut encore se démontrer de la manière suivante : Séparons par Ja pensée, dans un fluide en équilibre, une partie quelconque de sa masse. Elle est en équilibre et le sera encore si nous la supposons solidifiée. Mais alors toutes les pressions exercées contre sa surface par le fluide environnant doivent se réduire à une seule égale, et directement contraire à son poids. Il est clair que ces pressions auront encore la même résultante, si Ton substitue à cette masse de fluide solidifiée un corps solide quelconque de même forme: ce qui démontre le principe énoncé.

723. Quand le poids d'un corps est égal au poids d'un égal volume du fluide dans lequel il plonge, ce corps reste en équilibre .à toutes les profondeurs, pourvu que son cenire de gravité et celui du volume du fluide déplacé soient sur la même verticale. Le corps descend au fond du vase ou remonte à la surface selon que son poids est supérieur ou inférieur à celui du fluide déplacé. Dans ce dernier cas, le corps doit être en pariie au-dessus du niveau supérieur, et l'équilibre ne s'établit que lorsque le poids du liquide déplacé est égal au poids du corps.

724. Quand on pèse un corps dans un fluide, on n'obtient pas son véritable poids, mais seulement l'excès de ce poids sur celui du fluide déplacé. Si P est le poids du corps et P' celui d'un égal voluine de liquide, D la densité vraie, p la densité apparente, on a

d'où

DP'

725 Le principe d'Archimède subsiste et sa démonstration est !a même dans le cas où l'on considère un fluide conienu dans un vase : on en conclut aue la résultante

SiLivai. ---/l/ec, II. 20

3o6 COURS DE MÉCANIQUE.

des pressions d'un fluide sur les parois du vase qui le contient est égale au poids du fluide. Il faut bien distinguer cette pression de celle que supporte la paroi horizontale inférieure, qui peut être plus grande ou plus petite que le poids du fluide. Si l'on fait une ouverture à l'une des parois latérales, la pression n'ayant plus lieu sur la portion de la paroi qu'on a enlevée, celle qui s'exerce sur la paroi opposée ne sera plus détruite, et le vase sera mis en mouvement en sens contraire de l'écoulement du liquide. C'est là le principe des didérentes machines dites à réaction.