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3o8 COURS DE MÉCANIQUE.

X et f sont les deux inconnues qu'il s'agit de déterminer. Or on a

surfCAB :=- ab sinC, surfCDE = -.rr sinC,

d'où

(i) xy = ?'ab.

D'un autre côté, GH est perpendiculaire à DE ainsi que FK qui lui est parallèle, et comme DF = FE, il s'ensuit qu'on a KD = KE. Réciproquement, si RD = KE, la droite KF et par suite GH sera perpendiculaire à DE. Or si l'on nomme a et ê les angles ACK etBCK, on a

KD =^x'^+h^ — 'zhxcosa., KE ^y^-hh- — 2/!j-cosê;

donc, puisque KD = KE,

{i) x"^ — ih.r cosa = j^ — iJiy cos6.

En éliminant j'' entre les équations (i) et (2), on trouve

(3) x^ ■ — ih cosa..r' + irliah cos§..r — r"^ a? h"^ zz: o.

Cette équation, dont le dernier terme est négatif, a au moins deux racines réelles, l'une positive, l'autre négative. Cette dernière doit être rejetée, puisque laligne DE doit «"itre comprise dans lintérieurdu triangle ABC. D'après la règle de Descartes, si les angles a et o sont aigus et si l'é(|uation (3) a toules ses racines réelles, elle aura trois racines positives et une racine négative. Celleci est inadmissible, et l'on rejettera de même comme étrangère à la question une racine qui surpasserait a ou (]ui donnerait pour j une valeur plus grande que Z>. Il y a donc au plus trois positions d'équilibre pour lesquelles le sonmiet seul est plongé dans le liquide.

727. Le problème précédent revient à mener par un point donné K une normale à une hyperbole ayant pour

CINQUANTE-CINQUIÈME LEÇON. SoQ

asymptotes CA et CB. En effet, si Ton mène dans Fangle ACB différentes droites, telles que DE, formant des triangles DCE équivalents entre eux, le milieu de chaque droite DE se trouve sur une hyperbole ayant CA et CB pour asj'niptotes, et celte courbe est tangente à DE. La droite KF étant perpendiculaire à DE, la question revient à mener par le point K une normale à cette hyperbole. On sait qu'on peut en général eu mener quatre, dont l'une aboutit à la branche située dans l'angle opposé à l'angle ACB.