CDE
ABC
et si les centres de gravité du quadrilatère ABDE et du triangle ABC sont sur une même verticale, il en sera de même de ceux de ABC et de CDE. Il suffit donc, en conservant les mêmes notations, de changer /■ en i — r. Lci. deux inconnues CD = x, CE =j se déterminent au moyen des équations
oy = (i — r) ab , x'^ — ihx cosa ^jy^ — 2/r^cos6.
CIKQUANTE-CIJVQUIÈME LEÇON. OII
STABILITÉ d'un COKPS FLOTTANT,
730. Un corps solide étant plongé dans un liquide, le centre de gravité G de ce corps et celui H de la partie FiiJ- «87. immergée doivent être sur une
même verticale perpendiculaire au plan de flottaison ABCD.
Supposons que l'on écarte un peu le corps de sa position d'équilibre et que tous ses points reçoivent de petites vitesses. Soit A'IÎ' CD' la section faite dans le corps par le nouveau plan de flottaison, le premier étant venu en ABCD.
Parle centre dp gravité I de la section ABCD menons un plan AB" CD", parallèle au plan horizontal A'B'C'D' et qui coupe ABCD suivant la droite AIC. Désignons par 0 l'angle des deux plans ABCD, AB" CD", et par ^ la distance du point I au plan A' B' CD', cette distance étant positive ou négative suivant que le point I est situé audessous ou au-dessus du niveau du liquide.
Pour résoudre la question de stabilité, nous ferons usage du principe des forces vives. Un élément de masse Jm du corps flottant est sollicité par son poids ^^/m, force verticale. La partie du corps plongée dans le liquide est soumise, en outre, à la poussée, qui équivaut au poids du liquide déplacé, et qui agit verlicalement au centre de gravité du liquide dont le corps occupe la place, en sens contraire de la pesanteur. La poussée du liquide peut donc être remplacée par de petites forces verticales, en appliquant à chaque élément de masse dm situé au-dessous du niveau une force égale et contraire au poids du volume d'eau dont cet élément de masse tient la place. Cette dernière force est gpdi>, en appelant ds^ le volume occupé par I élément dm et p la densité du fluide. La ré-
3l2 COURS DE MÉCANIQUE.
sultante de toutes ces petites forces est la même que celle des pressions exercées par le fluide sur la surface immergée du corps flottant. Ainsi, pour chaque point matériel dm de ce corps, les composantes X, Y, Z de la force motrice sont
X = o, Y = o, Z = g dm ou gdm — gpdc,
selon que la molécule thn est au-dessus ou au-dessous du
niveau du fluide. Donc on a , - C9 étant la somme des
quantités de travail des forces motrices dans le temps écoulé t,
OU
(l) ©:=; 2g'% zd/n — ?.g'& \ zdi>;
la première somme \ zchn comprenant toute la masse
du corps et la seconde seulement la pai-tie plongée. On a donc, d'après le principe des forces vives çXxi désignant la vitesse de la molécule dm^
2 ) \ u'din = C -I- 2 ( g- % zdm — g^/
zdi
Or \ zdm = M^i, M étant la masse du corps et Zx le z
de son centre de gravité G. D'ailleurs M = Vp, V étant le volume de la partie immergée, quand le corps est en équilibre. On a donc
(3) yzdm = Mz, = YpZi.
Il faut maintenant calculer \ zdu. Partageons cette somme en deux parties, l'une relative à la partie ABCDL
CINQUANTE-CINQUIÈME LEÇON. 3l3
du volume V limitée à la section ABCD et rau.lre à la partie comprise entre ABCD et A'B'C/D'. La première est égale à Vz', z' étant le z du centre de gravité H de la masse totale du fluide. En désignant par h la seconde, on a
(4) y v}din = G H- 2g-Vp (si — z') — 2g-pA-.
Or soit GH = a. Si l'on projette cette droite sur la verticale du point G, on voit que ^i — z'=: zjz a cos9, suivant que H est au-dessus ou au-dessous de G. Il faut maintenant calculer h.
Considérons, à cet effet, un élément de surface d\^ en uu point 772, sur la section ABCD, et projetons-le, par un petit cylindi^e vertical inni\ sur le plan de flottaison A'B'C'D'. Sa projection est d\ cosQ. Pour calculer dk ou
la partie àe\ zdi^ relative à ce petit cylindre, décomposons-le en une infinité d'éléments par des plans horizontaux. On aura pour Tun d'entre eux
de = dz dl ces S , zdv =^ z dz d\ ces 9. Donc, en posant inni' =^j^
d/c ^=^ I zdzdlcosQ ^ — c?X cosô.
: J ZclZ
On peut exprimer y en fonction de p et de Q. En effet, abaissons 77777 =z /perpendiculaire sur Ac. Si l'on projette 77/77 sur vnn' ^ on a 77i7?2' ouj^ nz: ,^ -f- /sin0, / étant positive ou négative suivant que 77777 est au-dessous ou audessus de AC. Donc
dk =1 ~ rc, -^ l sin 9 )' <:/>. ces 9
ou
dfi z= - 'Ç,^ cosO dl -{- C, sin 9 cosQ.ldl -^ sin'9 cosQ-^^^ r^X,
3l4 COURS DE MÉCANIQUE.
On aura donc
k~ ~ Ç^coseX d). J-Çsin QcosgV Idl^ - sin^Q cosO V P d\ ,
expressions où toutes les sommes s'étendent à tous les éléments de la section ABCD. Soient b l'aire ABCD et y. le moment d'inertie de celte section par rapport à AIC- On a
\d\^b, \ldl=o, \l^dl :==[>..
Donc
A == - 0 î;^ ces 6 ^ — u. sin- 9 ces 0 .
Substituant dans l'équation (4)-, on a
,t\ ( % aV/w =: C qz 2g"Vp« cosô — gpb'Ç cosQ
{ — gpusm-0 cosO -'r- s.
Nous ajoutons e, parce que dans le calcul de k nous avons pris, au lieu du volume ABCD A'B'C'D', celui d'un cylindre vertical ayant pour base ABCD et limité au plan A'B'C'D' : de sorte que £ est un infiniment petit du troisième ordre au moins.
Maintenant ô et ^ élant des quantités très-petites, on
6' peut négliger 6^ et ^^, et remplacer cosô par i > sinô
par 0. En désignant par c la constante C zrz ^gY pa, l'équation (5) devient
(6) yu'dn7^c — gpb-Û — gp{iJi^Ya)Q' + t.
On détermine c d'après l'état du corps flottant à l'origine du mouvement. On suppose connues les valeurs initiales de^et de 0, ainsi que les vitesses initiales de tous les points du corps. Comme toutes ces quantités peuvent
être prises aussi peliles que l'on veut, il en résulte que la constante c peut être supposée aussi petite qu'on voudra.
731. Pour déduire de l'équation (2) les conditions de stabilité de l'équilibre du corps flottant, il faut distinguer deux cas.
En premier lieu, si le centre de gravité G du corps est au-dessous de celui du fluide déplacé H, l'équilibre est toujours stable. En effet, l'équation (2) est alors
11^ dm =r — gpf^'C' — gp (ft -t- Vfl)9^ + s
La valeur de c qu'on détermine d'après les valeurs initiales de fx, ^, 0, qu'on suppose très-petites, est positive et très-petite. Les quantités^ et 9 ne peuvent pas croître assez pour que la somme ^pZ)(^- -i- g p [fj. -hY ci) 9^ devienne plus grande que 2C; car si cette somme devenait égale à 2C, la quantité £ étant au moins du troisième ordre, le second membre de l'équation précédente serait négatif et
on aurait \ irdm<^o, ce qui est absurde. Il en résulte
que dans le mouvement du système on a toujours
On pourrait démontrer de la même manière qu'on a
«'étant un nombre quelconque plus grand que l'unité.
Donc, comme c est une quantité positive Irès-petile et aussi petite que l'on veul, les valeurs des variables ^ et 9 resteront toujours liès-pelilcs et par conséquent le corps s'éloignera fort peu de sa position d'équilibre.
3l6 COURS DE MÉCANIQUE.
732. Quand le point G°est au-dessous du point H, 1 equation (2) est
\ lû dm = c — g^^'C — S P ( i"- — V a ) G- -T- e
La valeur de c reste positive si l'on a p. ^ V«, à l'origine du temps. Si f/ ou le moment d'inertie de l'aire ABCD par rapport à la droite AlC reste plus grand que Va à toute époque, on verra comme précédemment que 0 et ^ resteront toujours extrêmement petites et l'équilibre sera stable. Il faudra dans ce cas que le moment d'inertie de la section ABCD, par rapport à une droite quelconque passant par son centre de gravi tel, soit plus grand que V<3, parce que dans le déplacement infiniment petit du corps l'intersection des plans ABCD et Aiy'CD" peut prendre toutes les positions possibles autour du point I. Donc il faut et il suffit que Va soit moindre que le plus petit moment d'inertie de la section ABCD, par rapport à toutes les droites qu'on peut y mener par le point I. La ligne qui correspond à ce moment d'inertie minimum est ordinairement connue. Par exemple, dans un vaisseau, c'est la droite qui va de la proue à la poupe. C'est par rapport à celte ligne qu'il faut calculer le moment d'inertie de la section, et s'il est plus grand que Va, l'équilibre sera stable. Si ^. devenait moindre que Va, l'équation (2) ne ferait rien connaître relativement à la stabilité de l'équilibre, parce que le second membre n'étant pas nécessairement négatif à une époque cjuelconque, on ne tombe pas sur la conséquence absurde que la somme des forces vives devienne négative, en supposant que p et 0 croissent indéfiniment.
DU MÉTACEJNTllE.
733. Soit S un corps solide flottant. Lorsqu'il est en équilibre, on sait que son centre de gravité G et celui H
CINQUANTE-CINQUIÈME LEÇON. 3l7
du volume de liquide déplacé sont sur une même perpendiculaire au plan de flottaison ABCD. Supposons que ce
corps soit symélriqueparrapport à un plan vertical I^LD, lequel contient alors la di oite KGH. Imaginons qu'on dérange un peu ce solide de sa position d'équilibre, tout en" «maintenant vertical le plan BDG. Ce plan contiendra donc toujours le centre de gravité de la masse fluide déplacée. Soit à un instant quelconque A'B'C'D' la section de niveau. Le centre de gravité du fluide déplacé A'B'C'D'L est un certain point H' et le corps peut être regardé comme se mouvant par l'action de deux forces : son poids P appliqué à son centre de gravité G et la poussée du fluide qui s'exerce en sens inverse suivant H' M. Le point M où la verticale H'M rencontre la droite KGH est ce qu'on appelle le métacentre. Pour avoir le mouvement du centre de gravité, il faut (600) supposer toute la masse du corps réunie en ce point et y supposer appliquées les deux forces verticales dont nous venons de parler. Elles se réduiront à une seule égale à leur différence. Si le volume de liquide déplacé est toujours égal à celui que le corps déplace dans sa position d'équilibre, ces deux forces sont égales et contraires, et alors le point G devra rester immobile, pourvu que le corps n'ait pas reçu de vitesse initiale. On aura ensuite le mouvement de rotation autour du centre de gravité en le supposant fixé, ce qui détruira le poids du corps, et la poussée du fluide appliquée en M le fera tourner autour d'un axe horizontal passant par G et perpendiculaire au plan de symétrie BLD. Mais ici il faut distinguer plusieurs cas.
Si dans ce mouvement le métacentre reste toujours an-dessus du point G, sur la droite HGK, la poussée du fluide tendra constamment à ramener cette droite dans
3l8 COURS DE MÉCANIQUE.
la position verticale qui répond à l'équilibre du corps. Donc cet équilibre est stable.
Si, au contraire, le mélacenlre est constamment audessous du centre de graviié, la poussée du fluide (endra à éloigner la droite KGH de la verticale, et l'équilibre du corps sera instable.
Eiilin, si le métacentre peut être, tantôt au-dessus, tantôt au-dessous du centre de gravité, la considération seule du métacentre ne fait jjus rien connaître relativement à la stabilité de l'équilibre du corps flottant.
