ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU MOUVEMENT
739. Les équations d'équilibre des fluides sont fondées sur la propriété qu'ils ont de transmettre également en tous sens les pressions appliquées à leur surface, et sur celle d'exercer sur chaque élément de surface autour d'un point quelconque de leur masse, en vertu des actioias moléculaires, une pression égale en tous sens et normale à l'élément de surface qui le supporte. Certains faits semblent indiquer que cette dernière propriété n'a pas toujours lieu quand le fluide est en mouvement, c'està-dire que la pression peut n'être pas normale à l'élément sur lequel elle s'exerce, ni être la même dans toutes les directions autour d'un même point. Cependant on peut admettre que cette propriété des fluides a encore lieu, c[uand le mouvement n'est pas très-rapide, les expériences s'accordant assez bien avec les résultats qu'on déduit de cette hypothèse.
Quand on veut déterminer le mouvement d'un système de points dans l'espace, on se propose ordinairement de trouver des équations qui servent à exprimer les coor-
320 cou us DE MÈCAKIQTJE.
données de chaque point en fonction du temps. INIais, an lieu de suivre dans son mouvement une seule et même molécule, il est plus avantageux de déterminer la vitesse de la molécule fluide qui, au bout d'un temps quelconque, passe par un point pris à volonté dans, Fespace occupé par le fluide, ainsi que la pression et la densité du fluide en ce même point, qui reste fixe. Soient x,j^ z les coordonnées d'un point m; [i la masse de la molécule fluide qui se trouve au point m après le temps t. Désignons par X, Y, Z les composantes, rapportées à l'unité de masse, de la force qui agit sur la molécule /ji. Les composantes de la force motrice seront Xf;., Yp., Z^. Il faudra cinq équations pour déterminer les composantes ii, v, w de la vitesse du point, sa pression /; et sa densité p.
740. Le principe de d'Alembert fournit d'abord trois équations. Soient u'dt, ^'dt, w' dt les accroissements de «, i>, w, lorsque le temps t augmente de df.. Les composantes de la force perdue sont (X — u') (J-, (Y — ^') [^i
,n ,s n j 1 r rc • '^P V- ^P F- ^P F-
IL — w ] a, et celles de lalorce eflective -i- -i -, — ? -^
^ ' ' dx p df p dz p
Donc, d'après les équations d'équilibre des fluides, on aura
Pour obtenir u', i>\ ^v', on doit différentier ia, (^, w, en i^egardant x, j, z comme des fonctions de f, dont les accroissements sont iidt., v dt, wdt, en sorte que dx =^ udt, etc. On aura donc
du du
— + « — dt dx
du, du "^ df dz
dv dv — +K — dt dx
dv dv
' *' dj ~^ "' TIz'
d(v d(\' -— -h u ■— dt dx
d(v div dy dz
p dx
dt d.v
du du.
T dp
di> dv
dv di'
dt d.v
dy dz
dw div
dt dx
dy dz
CINQUAKTE-SÎX1È?,ÎE LFÇOA.
et, par conséquent,
741. II reste encore à trouver deux équations d'équilibre ou une seule si p est constante. Nous trouverons cette équation en exprimant que le fluide est continu.
Concevons dans Fespace occupé par le fluide un petit parallélipipède me [fig- i8o, p. 286). A chaque instant une partie du fluide sort de ce volume, et une autre y entre. La masse du fluide contenue dans ce parallélipipède, p dx dy dz.^ au temps f, devient 1 p h -\ dxdj dz
au temps t-\-dt. L'accroissement de masse est donc -y dt dx dy dz. En vertu du mouvement il passe par la face dj dz une tranche fluide pudtdjdz. Il passe par la face opposée une masse ipu-i ' — J dtdjdz. L'excès de la C[uanlité qui entre sur celle qui sort est donc y— dxdy dz dt., en supposant p u constant dans toute
rétendue de la face mabg et de sa parallèle. Or cette supposition est permise, car si Ton considère deux points h et k pris sur les faces md et ae, la difféi-ence des valeurs depu en ces deux points surpasse la différence des valeurs" de pu aux points m et a d'une quantité infiniment petite par rapport à elle-même. On obtiendrait des expressions analogues pour les quantités de fluide acquises par les autres faces. En exprimant que l'accroissement total de la
masse est égal à -j- dxdjdz et divisant par dxdy dz dt,
SaS ■ COURS DE MÉCANIQUE.
on aura donc
, ,, dp dpu dpv dow
^^' dl dx dy dz
Cette équation est connue sous le nom à' équation de continuité.
742. Si la densité du fluide est constante, ce qui arrive pour les liquides homogènes et incompressibles, l'équation précédente devient
du
di>
div
dx
df
dz
Elle suffit avec les équations (3) pour déterminer toutes les inconnues en fonction de x,y, z, t.
743. Si le fluide est incompressible, mais non homogène, la densité de chaque molécule est variable dans le cours de son mouvement; mais elle varie à chaque instant avec le temps dans un point déterminé et fixe m. La densité p au point m sera donc une fonction des coordonnées de ce point et du temps; mais on peut considérer momentanément X, y, z comme représentant les coordonnées d'une même molécule dans son mouvement. Ces coordonnées deviennent fonction de t, et leurs dérivées par rapport à cette dernière variable sont respectivement ?/, p-, iv. En différentiant la valeur de p sous ce point de vue, on aura donc
dp dp dp dp
-f-\--fu-]--fi>-}-~-(v = o.
dt dx dy dz
En
vertu
de cette relation, l'équation (4) revient aux
deux
suivantes :
dp dp dû dp
dt dx dy dz
il)
du de di\' dx dy dz
CÎKQUAJXTE-SIXIÈME LEÇOIV. 320
qui, jointes aux équations (3), serviront à déterminer les cinq inconnues u, p-, w, p, p en fonction de x, y, z, t.
744. Dans le cas d'un fluide élastique et compressible, comme l'air, on aura encore cinq équations en joignant aux équations (3) et (4) la relation jy=.lip qui existe entre la pression et la densité, le coefficient A ne dépendant que de la température de la masse gazeuse.
745. Ces équations suffisent pour déterminer le mouvement si le fluide est indéfini et si l'on connaît son état initial, c'est-à-dire les valeurs de u, u, w, p, p en fonction de X, j, z et pour f = o. Mais si le fluide est terminé, il faut y joindre des conditions particulières. On suppose que les molécules en contact avec une paroi fixe ou mobile y restent indéfiniment et que les molécules qui appartiennent à la surface libre ne cessent jamais d'en faire partie. Soit y(^, j?, j'', z) = o l'équation d'une surface sur laquelle un point du fluide doit toujours demeurer. On a
f[t + dt, œ -^ U dt, y -f- vdt, z + wdt) = o^
équation qui exprime que la molécule sera encore sur cette surface au bout du temps t -+- dt, et qui donne
df , df df df
dt dx dy (Lz
Si la paroi est fixe, — - disparaît, et l'équation se réduisant à
df ^df , df
dx dy dz
montre que la vitesse du point est à chaque instant dirigée suivant une taogente à la surface.
11 reste à considérer la surface libre du liquide, ordinairement soumise à une pression ct qui est la même pour tous les points, mais qui peut varier avec le temps. On
33o COURS DE MÉCANIQUE.
aura pour cette surface p — cj := o, d'où
dp dp dp dp dvs
<u dx dy dz dt
équation qui détermine n>.
746. On a considéré jusqu'ici x, j^ z comme étant les coordonnées d'un point déterminé pris à volonté dans l'espace occupé par la masse fluide. Si l'on veut oblenir le mouvement d'une molécule particulière, ses coordonnées X, /, z cesseront d'être des variables indépendantes. Elles dépendent du temps, et pour les connaître il faudra intégrer les équations simultanées,
dx. dy dz
dt ' dt dt '
après y avoir remplacé ?«, f, iv par leurs valeurs générales en fonction de x^ y^ z obtenues comme on Ta dit précédemment. Les valeurs de x^y^ z renfermeront comme constantes arbitraires les coordonnées initiales de la molécule,
