Lorsque zf, v^ -w sont telles, que l'on ait
udx -\- vdy -\- wdz= rfy, Xdx -A-Xdy-\-T.dz = dN , on a (740)
1 dp <r/V d'^o dtf d^(f d^ d-(f d<s d'^a^
p d.r d.r. dx dt dx dx' dy dx dy dz dx dz
I ({p dV d^(f dtsj d'^r^ c/tp d"(9 d(f c/'cp
p (/y dy dy dt dx dx dy dy dy^ dz dy dz
1 dp dY r/'cp ddf d-(f do ePw do d^m
p dz dz dz dt dx dz dx dy dy dz dz dz-
d'où, en multipliant par Jx, dy^ dz et ajoutant, on a
0 dt 2
â)-fê)'-^(S)]'
Les différentielles sont prises par rapport à X,j\ z sans faire varier t.
Si le fluide est homogène, on a
et, en intégrant l'équation précédente,
dt 2
de] ^ \d^j ^ V^
Il faut y joindre l'équation
dp "V'S) 'K'S) '^{^7izi
dt dx dy dz
qui devient, pour un tluide incompressible,
rf'ta r/'cu d'^ m
dx'' dj'^ az'-
MOUVEMENT d'uN FLUIDE DANS UNE HYPOTHÈSE PARTICULIÈRE.
748. Quand un liquide homogène est renfermé dans un vase et s'écoule par un orifice horizontal pratiqué au fond du vase, l'expérience montre que les molécules situées dans une même tranche horizontale à un certain instant, y restent constamment tant qu'elles ne sont pas très-voisines de l'orifice ; en d'autres termes, les tranches horizontales infiniment minces se remplacent successivement en demeurant parallèles à elles-mêmes. On peut négliger les vitesses horizontales, lorsque les sections varient peu dans toute l'étendue du vase et que leurs dimensions sont très-petites par rapport à la hauteur. Il n'y a plus alors que deux inconnues, la vitesse verticale d'une tranche et la pression, à déterminer en fonction de la distance de la tranche à un plan horizontal et du temps.
Prenons l'axe des x verlical et clans le sens de la pesanteur. En conservant les notations du n°'739, nous aurons
L équation ~ = p(lL — u') (740) devienara dp [ du dn\
et les deux autres équations (i) du n" 740 se réduiront à
dp dy
dy dz
car on a
Y = G, v'=iO, Z = o, fv'=o.
On exprimera bien simplement Fhypotlièse du parallélisme des tranches en égalant la quantité de liquide qni passe par une tranche quelconque à celle qui sort par l'orifice pendant le temps dt. Soient w la section de la tranche à la hauteur x, £l l'aire de l'orifice et U la vitesse des molécules à cet orifice. Les quantités de liquide qui passent par les aires co et il pendant le temps dt sont (ùudt et Q.Vidt : on doit donc avoir
nu
Les vitesses m et U se rapportent au même temps t. U est une fonction de t seulement, n une fonction de x et de t. Eliminant u entre (i) et (2), on a
dp l a d\] 9JW r/w\
dx ' \ w di w* dx ]
et, en intégrant par rapport à a:,
d\S rdx PJU2
(4) ;. = c + ,o.p,,pii ^-p=-
CINQUAKTE-SIXIÈME LEÇON. 333
C est une quantité indépendante de x, mais qui peut être une fonction de t.
Soient P la pression constante exercée sur la surface supérieure du liquide et P'ia pression à l'orifice. On aura P = P' si tout l'appareil est dans le même milieu. Soient h la distance du niveau au plan des xj et l la dislance du niveau à l'orifice. On aura p = P pour x = h, d'où
en appelant O la section du vase à la hauteur du niveau, et par suite
[5) p=^ + go[.-k)-,a-j^ __p__(^___j.
Pour X = /z -h / on a p = P', Où — n, et si l'on pose
— = m, P-P' = gp3, .
il vient
fil] I / oj\
(6) gÇi^S) = m^-^-^-[x-^^^U^.
Mais ici nous développerons deux cas, suivant que le niveau du liquide sera constant ou variable.
KIVEAU COKSTÀNT.
