MOUVEMENT PERMANENT D'UN LIQUIDE
755. Il peut arriver cju'un liquide soit animé d'un mouvement permanent, c'est-à-dire tel, qu'en un point quelconque la pression soit toujours la même et que la vitesse de chaque molécule qui passe par ce point soit aussi constante en grandeur et en direction; d'où il suit que des molécules qui à des époques différentes occupent une même position parcourent la même trajectoire d'une manière identique.
CINQUANTE-SIXIEME LEÇON. 3'i'J
Le principe de d'Alerubei t fournit les trois équations
dz ' \ f/^'
qui expriment que les forces perdues se font équilibre dans la masse fluide 5 p désigne la pression en un point quelconque m, dont les coordonnées x,y, z sont considéi'ées comme des variables indépendantes. La molécule fluide p. qui passe par ce point m, au bout du temps î, a aussi pour coordonnées x, y, z à cette époque 5 et si l'on suit cette molécule dans son mouvement, ses coordonnées deviennent des fonctions du temps et prennent après le temps dt qui succède au temps t des accroissements qu'on désigne par dx, dj^ dz. Les compo-
d'^ 3(1 d"^ y d"^ z santés de la force effective sont——; -—^5 — 75 x, r, z
dt' de dt- -^
étant, comme nous le disons, fonctions de t pour la molécule mobile que l'on considère, ce que nous supposerons - toujours dans ce qui va suivre.
En multipliant les trois équations (i) respeclivement par dx, dj', dz, on obtient
dxd^x -+- dyd'^y + dzd'^z)
dp = p (Xr/o; + Ydy -\- Zdz ou
df
\i) dp = ç [ILdx + Y<:(x + Z dz) — ^ do
V est la vitesse de la molécule p. à l'époque t où elle passe au point m, et dp est l'accroissement de la pression quand on passe du point nt au point où arrive cette molécule après le temps dt, la pression en un même point étant toujours indépendante du temps.
Sturm. — Idée. II. 22
756. Cette équation peut s'appliquer à un liquide pesant, dont le niveau est entretenu à une hauteur conslanle et qui s'écoule hors du vase qui le contient par un orifice pratiqué à sa partie inférieure. On a pour le mouvement d'une molécule quelconque, en prenant l'axe des z vertical et dirigé dans le sens de la pesanteur,
(3) dp=zg^dz pf/c'.
En intégrant entre deux points quelconques de la trajectoire dont les distances au plan des xj soient Zq et z, il vient
(4) Z'— 7'o = g-p(z — zo) — -p(f'' — f'„),
po et Vq étant la pression et la vitesse au premier point, p et p* au second.
loi. Supposons que la surface supérieure du liquide soit plane et soumise eu tous ses points à une pression égale et constante P^. Si nous faisons dans l'équation (3) z^ = 0,^0 = 1^05 le premier des deux points que l'on considère sera pris à la surface supérieure du liquide, et l'on aura
/.' — Po = S'p3 — -p(p= — t'S).
Si le vase est percé d'un petit orifice à la partie inférieure à une distance h au-dessous du niveau supérieur, on peut admettre que tous les points qui passent par cet orifice ont la même vitesse v, en sorte que pour x = h\\ n'y ait qu'une valeur de v. En désignant par P la pression extérieure qui s'exerce à l'orifice, on aura
P-P„=5'pA-^p(p^'-.^) ou
CIINQUANTE-SIXIÈME LEÇON. 33c)
en posant P^ — P = gp^i ^ devant être positive ou négative suivant que P est plus petite ou plus grande que Pq.
On voit que la vitesse u^ doit être la même pour toutes les molécules situées à la surface supérieure du liquide.
Soient 0) l'aire de l'orifice et Q. l'aire de la section du vase par le pian du niveau supérieur : on a
w vdt Tsiz o. i>^ clt ;
car la quantité de liquide qui sort du vase par l'orifice œ pendant le temps dt et qui a pour expression (juvdt^ la direction de la vitesse v étant sensiblement verticale, est égale à une tranche de liquide située à la partie supérieure ayant pour base l'aire îî et pour hauteur v^^dl^ la vitesse v^ étant aussi verticale.
On a donc
et
d'où
