VIBRATIONS DES GAZ DANS LES TUYAUX CYLINDRIQUES
Équation du mouvement — Cas du tuyau indéfini dans les deux sens. — Tuyau fermé à une extrémité et indéfini dans un sens. — Tuyau indéfini dans un sens et ouvert dans un milieu gazeux de densité constante. — Tuyau limité ouvert à ses deux extrérailés.
ÉQUATION DU MOUVEMEKT.
759. Dans Tétai naturel d équilibre d'un gaz, sa force élastique cj est égale à ginh, ^ étant la pesantetir, 7?i la densité du mercure et h la hauteur de la colonne de mercure qui fait équilibre à la pression de ce gaz.
INous supposons que les molécules du fluide en repos qui sont dans un même plan perpendiculaire aux arêtes du tuyau, se déplacent d'un mouvement commun parallèlement aux arêtes.
Soient x et x -+- dx les distances à un point fixe de
deux plans infiniment voisins, M, M', perpendiculaires
Ym. 189. ^^^ arêtes, qui com-
prennent entre eux
une tranche dont la
^ M M' N N' ^ masse est padx, en
désignant par p la densité du gaz en repos et par a la section transversale du tuyau. Après le temps t, cette tranche s'est transportée en NN'j nous désignerons par u le déplacement MN des molécules qui étaient d'abord dans le plan M 5 u sera une fonction des deux variables X et t qu'il faudra déterminer. L'épaisseur de la tranche MM' est dx, et celle de la tranche NN' est dx -h du ou
^j;[i^l^) : et comme ces tranches contiennent la
\ dx !
même masse de gaz, les forces élastiques "du gaz en M et en N doivent, d'après la loi de Mariotte, être en raison inverse dea volumes des deux tranches, et par conséquent de leurs épaisseurs, ce qui donne, en appelant/? la force élastique ou la pression du gaz en N rapportée à l'unité de surface,
p dx \
zs dx H- du du
dx OU
en négligeant le carré de la dilatation — qui est trèspetite.
La pression sur la face N de la tranche ]NN' étant ap
OU acT ( I — 1 5 on aura la pression <xp' sur l'autre face
en changeant x eu x -^ dx dans l'expression de ayy, ce
qu
i donne
, du d^ Il
ap = a CI I ; ; — dx •>
' dx dx- '
d'^n La différence de ces deux pressions acr — — dx est la
^ dx-
force motrice de la masse de gaz comprise dans la tranche NN', masse égale à pa.dx. En divisant la force motrice par la masse, on aura pour l'expression de la force accélératrice
CT d"^ Il
p dx'^
Si la tranche n'était pas considérée comme solide, cette force accélératrice serait celle du centre de gravité de cette tranche NN', en y supposant toute la masse réunie. Or on peut dire que ce centre se meut comme la base N dont il est infiniment voisin.
342 COUBS DE MÉCANIQUE.
Si la tranche esl sollicitée encore par une force accélératrice étrangèi^e, on aura pour force accélératrice
r— -\- A, qu li laudra égaler a — ou simpie-
p dx' '1 ». de' ^
, d'il ment a — rj' puisque x ne varie pas avec t.
On a donc pour le mouvement d'une tranche l'équation
d^ u ûs d'il
dt^ p dx- '
et, s'il n'y a pas de force étrangère^
d'' Il ra d'^ u
dt^ '^ p dx^
ou
d- n d'il dt' dx'
en posant
CAS Dt) TUYAU INDÉFINI DANS LES DEUX SENS.
