L'intégrale de l'équation (i) est

(2) u = w{x ~h at) -{- il [x — ût).

On déterminera les fonctions co et (jj si l'on connaît le

déplacement initial u pour t = o àe chaque tranche à

, . . iw •i-i • . ... du

partir de sa position d équilibre et sa vitesse initiale —5

qui seront des fonctions données de x. Mais, au lieu du déplacement u pour f = o, nous supposerons donnée la

dilatation initiale -— pour Z=o. Ainsi l'on doit avoir

dx '■

pour f ==: o

du ^, . du /. / X

dx -^ ' dt -^ ^ '

Or la formule (2) donne

^-j- = y' [.X + at) + -y [x -— at) ,

~ = a[^'{x-t- at) — y (.r — at)\

En faisant ^ = o, on aura et conséquemmenl

761. Supposons que la partie primitivement ébranlée s'étende de x = o h x = l seulement. Alors les fonctions

Fig. .90. Z^-^) ^\/(^)' ^\ par conséquent aussi

o [x) et i^' (.r) sont nulles pour toutes les valeurs de x non comprises entre o et /.

Considérons d'abord un point situé au delà de l'ébranlement initial OL du côté des x positives. Son x étant plus grande que /, x -h (^t sera à fortiori plus grande que /, t étant positif 5 on aura par conséquent

<f' {x -\- at) = o et

-=^{x.-at),

du ~=:-a-J^[x-at),

-, , du du . ,,

et pour que ces valeurs de - - et — ne soient pas nulles,

o44 COIÎKS DE MÉCANIQUE.

il faut que x — at soit comprise entre o et /, ou qu'on ait x\^ at et x<^at-\-l^ c'est-à-dire qu'au bout du temps t il n'y a de mouvement au delà de OL que dans une portion CD du tuyau d'une longueur égale à /. Cette portion, qu'on appelle onde, est constituée d'une manière invariable qui ne dépend que de la fonction ^' . Elle s'éloigne indéfiniment de OL avec une vitesse constante a 5 il ne faut pas confondre ce déplacement de l'onde avec le mouvement d'une molécule qui ne dure que pendant le temps -i car il résulte de x — at^o et <^ /

qu'une même molécule ne commence à se mouvoir qu'a-

près un temps égal à et ne revient au repos qu'après un temps égal à -•

Pour une tranche quelconque de cette onde, il y a un

rapport constant a entre la vitesse et la dilatation, car on

a la relation

du du

dt dx

762. Pour les points à gauche de l'origine O, x étant négative, on a

■i^' {x — at) =: o

et

du , , ^ du . .

— =y(j: + «iri, — =z a (^' [x -^ at) ', dx ' dt

d'ailleurs (s^' [x -{- at) est nulle quand x n'est pas comprise entre — at el • — at -\- l.

Le mouvement se propage donc aussi vers les x négatives par une onde CD' dont la nature dépend de la fonction ip' et qui se transporte à gauche du point O avec une vitesse uniforme égale à a.

Une même molécule est en mouvement pendant un

intervalle de temps égal à -5 depuis l~^— — jusqu à

CINQUANTE-SEPTIÈME LEÇON. o45

t <; • Dans chaque iranclie on a la relation

du du

— = a — • dt dx

/od. (Jnanl aux points situes entre O et L, — et — - ^ ^ ' d.T dt

dépendent d'abord des deux fonctions <s^' [x -\- ai) et

'^' {x — ai). Ces deux fonctions s'annulent dès que t

surpasse —•> de sorte qu'après ce temps -là toute la

partie OL reste en repos, et il y a deux ondes qui s'en éloignent à droite et à gauclie, comme nous l'avons dit. Le mouvement se propagerait par une seule de ces deux ondes, si l'ébranlement initial était tel, qu'on eût, dans la partie OL, cf'(a:) = o ou t|*'(:i:) = o, ce qui, d'après les formules (4), revient à supposer la relation

764. Si l'ébranlement initial avait lieu dans plusieurs parties du tuyau séparées par des intervalles en repos, il suffirait de supposer les fonctions ç-' (x) et^p'(j:) nulles dans ces intervalles pour rentrer dans le cas qui précède d'un ébranlement limité; chaque partie ébranlée doit donner naissance à deux ondes qui s'en vont à droite et à gauche avec la vitesse uniforme a,