TUYAU FERMÉ A UNE EXTRÉMITÉ ET INDÉFINI DANS UN SENS
7G3. En prenant pour origine des x l'extrémité fermée, on aura la condi-
Flg. ÏQI.
du
dit
du
du du
— fi —
ou
pour
dt
dx
dt d.x
L' R' 0 L K tion — - = o pour 0? = o,
quel que soit t. Les fonctions ^{oc) et '^[x) ne sont
données que pour les valeurs de x positives.
La condition ~ =: o pour j:=: o donnera, quel que
soit t (positif ou négatif si l'on veut que les états antérieurs à l'origine du temps soient représentés aussi bien que ceux qui suivent),
(ù'[at)~y[ — at)=-.o,
OU, en désignant par z une variable quelconque, positive ou négative,
Cette équation détermine les fonctions cp' et tp' pour les valeurs négatives de la variable, ces fonctions étant données pour les valeurs positives.
Les valeurs (3) de -r- et de — ainsi déterminées pour
des valeurs quelconques de x et de i sont les mêmes que si le tuyau, n'étant pas fermé en O, s'étendait indéfiniment dans les deux sens, l'état initial étant choisi du côté où l'on prolonge le tuyau de la manière qui vient d'être indiquée.
Dans cette hypothèse, en changeant x en — x dans les formules (4), on aura, pour la dilatation et la vitesse de la tranclie qui répond à l'abscisse — x, en ayant égard à la relation (5),
= ç' ( — .r -f- at) -\--h' [— X — nt)
■=. -h' Lx — at) H- ©' [x H- at) =-: ( —
\ax
rrz: a[(p' ( — X -\- at) — i|y'( — X ~ at)'\
=12 a ['\)' [x — at) — ^'(.r -+- at)] =z -~ i~\ »
Ainsi dans deux sections à égales distances de l'origine O, la dilatation est la même et les vitesses sont égales et de signes contraires.
Il suffît que celte propriété ait lieu à l'origine du temps pour qu'elle ait lieu à une époque quelconque 5 car pour qu'elle ait lieu quand f = o, ou retrouve la
condition
766. Si l'ébranlement initial est renfermé dans un espace limité KL entre les abscisses k et /f-t-/, il donnera naissance à deux ondes animées des vitesses à et — «, et, d'après ce qui précède, il y aura deux ondes symétriques de celles-ci, s'écartant à droite et à gauche de l'intervalle K'L' symétrique de KL.
Celles qui s'éloignent de l'origine O n'éprouveront aucune altération. Quant aux deux autres, elles arriveront en même temps en O, et, continuant leur route, elles se composeront en se pénétrant, de sorte que les valeurs
-, dit du ^ . , ,
de —- et —- en un même point commun aux deux oncles dx dt
seront les sommes des valeurs qu'elles ont dans cliaque onde^ puis ces deux ondes, apiès s'être traveisées et séparées, continueront leur marclje sans altération.
On voit, d'après leur symétrie, que l'effet produit dans le tuyau réel est le même que si les diverses tranches de l'onde, qui s'approche du plan fixe O, se repliaient sur elles-mêmes en conservant la môme densité et prenant une vitesse égale en sens contraire. Après que toutes ces tranches seront arrivées en O, on aura une onde se dirigeant du côté des x positives, et qui ne sera autre chose que la première renversée, comme on vient de le dire. C'est en cela c[ue consiste la réflexion du mouvement sur un plan fixe.
TUYAU INDÉFINI DANS UN SENS ET GUVErxT DANS UN MILIEU GAZEUX DE DENSITÉ CONSTANTE.
767. On admet que la force élastique du gaz à l'ouverture O du tuyau est la même que celle du gaz extérieur
en repos, et par conséquent la dilatation — - est nulle
dx
pour X = G, à cause de p = cî ( i ^ j.
II en résulte, quel que soit Z,
ç'(oir) + i]>'(— «;) = o ou
En supposant le tuyau et le fluide prolongés indéfiniment à gauche de O, on aura, d'après les formules (5) et (6), pour la tranche dont l'abscisse est — x^
fdu\ \dx 1
\ z= vj [— X -\- at) -V- V {— X — at)
ldu\ \dt]
1 ^^ n\t!^' [— X -A- at) — V [— X — at)^
= rt [— ;I/'(,r — at) + y' (a: 4- at)^ = ( —
Ainsi, dans deux sections également distantes de l'origine, les vitesses sont égales et de niètne signe, et les dilatations égales et de signes contraires.
Il suit de là que si l'ébranlement initial n'a lieu que dans une étendue limitée, il y aura dans le tuyau réel une onde s'éloignant indéfiniment de l'origine, et dans le tuyau prolongé indéfiniment, deux autres ondes marchant vers l'origine, se pénétrant et se traversant sans s'altérer, de sorte que dans le tuyau réel à un instant quelconque se trouvera l'onde qui se dirigeait d'abord vers l'origine et qui s'y réflécjiit ensuite de manière à former une nouvelle onde dirigée en sens contraire ; les vitesses dans les différentes sections sont les mêmes et de même sens que quand l'onde s'approchait de l'origine, tandis que la dilatation change de signe.
CINQUANTE-SEPTIÈME LEÇON. 34o
C'est en cela que consiste la réflexion du mouvement sur un milieu de densité constante.
