TUYAU FERMÉ A SES DEUX EXTRÉMITÉS

768. L'état du fluide dans ce tuyau fermé est toujours représenté par les formules (3) en supposant le tuyau et le fluide prolongés indéfiniment dans les deux sens. Mais ici il faut déterminer, pour les valeurs quelconques de la variable x, les deux fonctions cf [x) et ^ (x), qui ne sont connues que pour les valeurs de x comprises entre o et l, l étant la longueur du tuyau fermé.

11 faut exprimer que la vitesse — est nulle pour x = o

et pour x =- l^ quel que soit ï, ce qui donne, en faisant at --^ z^

On connaît '^' {l — 2), z étant entre o et l\ donc on qonnaîi aussi çp'(/+ 2). Ainsi 9' (2) est connue pour les valeurs de z plus petites que il.

En changeant 2 en / H- z dans la seconde équation, elle donne

(et comme on a aussi il s'ensuit

La fonction cp' (2) reprend donc la même valeur, quand la variable z augmente de il. Il en est de môme de t|/' ( — z"), car la formule

ç'(z) = f(-.) donne

35o COURS DE MÉCANIQUE.

II suit de la périodicilé des fonctions cf' en|/' que la dilatation et la vitesse redeviennent les mêmes en un même

point du tuyau à des époques distantes les unes des autres

d un intervalle T = —' a

769. On peut encore établir ce fait en considérant que l'ébranlement initial donne naissance à deux ondes qui marclient en sens inverse et vont successivement se réfléchir aux deux extrémités suivant les lois qui ont été expliquées précédemment.

Après avoir subi deux réflexions et parcouru des cliemins égaux à deux Fois la longueur du tuyau, elles vien-

2/ nent, au bout d'un intervalle de temps égal à — -, reproduire, en se composant, l'état initial 5 et cet effet se répétera de nouveau indéfiniment.