BIÉHÎOÎRE (*) SUR QUELQUES PROPOSITIONS DE MÉCANIQUE RATIONNELLE

Le théorème de Cainot sur la perle de force vive qui a lieu dans un système dont certaines parties dénuées d'élasticité changent brusquement de vitesse en se clioquant, a été étendu par quelques auteurs à tous les changements brusques de vitesse produits par des causes quelconques. La démonstration de Carnet n'étant pas fondée sur la considération des actions mutuelles développées entre les molécules dans le choc, semblait se prêter à cette extension de son principe. Mais, après un examen plus approfondi, plusieurs géomètres ont été conduits à juger celte démonstration de Carnot insuffisante, et à restreindre considérablement la généralité de son théorème. On savait déjà qu'il n'avait pas lieu dans le choc des corps élastiques : on a cru devoir le borner au cas des changements brusques de vitesse dus au choc proprement dit entre des corps dépourvus d'élasticité, en observant que pour ce cas même il ne donne qu'une partie de la perte de force vive du système, quand il y a frottement entre les corps en contact : qu'il faut d'ailleurs que les vitesses des points en contact dans le sens delà normale commune aux surfaces des deux corps qui se touchent soient les

(*) On n'a pas trouvé de rédaction suivie de ce Mémoire dans les papiers de M. Sturm, mais seulement des parties détachées, couvertes de ratures. On a réuni ici tous ces fragments, en s'aidant, pour les coordonner et les compléter, de l'analyse du Mémoire donnée par l'Auteur dans les Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences, t. Xllt, p. lo^ô Stirm. -i^/ec. II. 23

554 KOTE I.

mêmes à la fin du choc, et qu'enfin les conditions ou liaisons géométriques auxquelles les points du système sont assujettis ne doivent pas changer de nature avec le temps, M. Poisson a remarqué qu'une explosion ou une production subite de forces qui séparerait brusquement des corps d'abord en contact, doit toujours donner lieu à une augmentation de forces vives dont l'expression est analogue à celle de la perle dans le théorème de Carnot.

S'il est certain que ce théorème ne peut pas s'appliquer à tous les changements très-rapides de vitesse, quelles qu'en soient les causes, il ne doit pas cependant être limité exclusivement au cas du choc des corps non élastiques. Le présent Mémoire a pour objet principal défaire voir qu'il a lieu dans d'autres circonstances qu'il est utile de connaître.

Considérons un système de points matériels en mouvement, sollicités par des forces quelconques et assujettis à des liaisons exprimées par des équations entre leurs coordonnées, qui ne renferment pas le temps explicitement. Soienl7?7, /«', m" , . . . , les masses de ces points; x,j^, z. les coordonnées du point rw au bout du temps £; x',j',z', celles du point /«', etc. ; ces coordonnées se rapportant à trois axes rectangulaires fixes dans l'espace. Désignons par i^ la vitesse du point m au bout du temps t, et par a, h, c les composantes de cette vitesse parallèles aux axes fixes desx,j^, ^; soient de même P"' la vitesse du point /w' et a', b' ^ c' ses composantes, et ainsi de suite. Enfin soient

les équations qui ont lieu à chaque instant, pendant le temps f, entre les coordonnées x,j)^, 2, x', . . . , des points du système, sans contenir le temps explicitement.

Imaginons maintenant qu'à un instant donné, au bout d'un temps t^ on établisse entre les points du système de nouvelles liaisons exprimées par les équations

L, = G , Ml = o , N, =-- o , . . -

et parmi lesquelles pourraient se trouver comprises les

liaisons

qui avaient lieu précédemment ou seulement quelquesunes crentre elles.

A l'inslant où l'on assujettit le système à ces nouvelles condiiions, la vitesse de chaque point du système changera brusquement soit en grandeur, soit en direction. Désignons par t^i la nouvelle vitesse que prendra le point m qui avait auparavant la vitesse v, et paraj,Z)j,Cj les composantes de (^i. II résulte du principe de d'Alembert qu'à l'instant où commence le nouvel état du système, les quantités de mouvement telles que mv^^ que prennent les différents points étant considérées comme des forces et prises en sens contraire, doivent faire équilibre aux quantités de mouvement im^ que ces points possédaient auparavant : de sorte qu'on a l'équation

{h) y m[[a — a,)Sx -V- [b — b,) Sy -\- (c — cj^z] -- o,

en désignant par §.r, èj, ^ z, dx'. . . . , les projections sur les axes des déplacements virtuels des points rn, m' , . . . , compatibles avec les liaisons nouvelles

Ainsi l'on peut donner à âx, ây, . . . toutes les valeurs qui satisfont aux équations simultanées

ciJL (-ty ci4* cijl

-r— Sx -\ — - àj H — a 3 H — - 6^' H- . . . =; o ,

I dx dy dz dx

En différen liant les mêmes équations Li=: o,Mi =: o, .,

, dx dy dz

par rapport au temps i, puis remplaçant ~r • ~r' "7-' • • *

356 KOTE I.

parleurs valeurs actuelles «i, &i, Cj , . . . , on aura

— — a, H — b, H — c, -}- -— - fl, + . . . z= o ,

«.r dy dz dx

h) l rfM, ^M, ^M, dm, ,

dx dy dz dx' * ' ' ' '

Au moyen des équations (/) on éliminera de l'équation (7^) une partie des variations dx, dj,..., puis on égalera à zéi-o les quantités multipliées par chacune des variations restantes. Les équations qu'on obtiendra, jointes aux équations connues (Â), fourniront la valeur des "6)1 inconnues «i, &i, Cj, . . . , qui n'y entrent que sous forme linéaire. On peut aussi combiner l'équation [h) avec les équations [i] par les équations

. , rfL, dm,

dx dx

d'Li f/M,

dj- dy

dont le nombre est triple du nombre n des points /;/, m' , . . . . Ces équations et celles qui précèdent (A) donneront les valeurs des 3/2 inconnues «j, ^i, Cj , . . . , et en outre celles des facteurs ^, u., . . . qui font connaître les percussions que les liens du système éprouvent par le changement brusque des vitesses.

Les équations de condition

étant par hypothèse indépendantes du temps, on voit que le mouvement effectif du système pendant l'instant dt qui succède au temps t est l'un des mouvements virtuels que les liaisons données lui permettent de prendre. En effet, les équations (/) sont vérifiées si l'on prend §x,

KOTE I. ^^y

Jr, §z. . . . proportionnelles aux composantes a^, ^i, c,, a\, . . . des vitesses réelles. On peut donc remplacer dans l'équation générale dx, ôj, §z,. . . par «i, b^, Cj. .... On a ainsi l'équation

m [{a — «,) G, -t- (& — bi) bi + (c — c,)c,] = o,

qu'on peut mettre sous la forme

\ m {a--^ b^-hc^)

=yni{al-\-b'^~'^c])-hyni[(a-a,Y-'^(b-b,y-h(c~c,Yy,

et comme a — «j, b — ^j, c — Cj sont les composantes de la vitesse perdue par le point m., quand on décompose sa vitesse \^ en i^i et u-,, cette formule devient

\ mv- = \ mv\ + \ mu]

Elle signifie que si les liaisons d'un système de points en mouvement sont changées à un instant donné, la somme des forces 'vives acquises avant cet instant surpasse celle qui a lieu immédiatement après, dhine quantité égale à la somme des forces vives correspondant aux vitesses perdues dans le passage du premier état du système au second (*).

Quoique la formule précédente soit semblable à celle du théorème de Carnot sur la perte de force vive dans le choc des corps dénués d'élasticité, les deux propositions reposent sur des considérations assez différentes pour être distinguées l'une de l'autre. Les conséquences suivantes feront mieux ressortir cette différence.

(*) Ce théorème a été démontré par M. Duhamel dans une Note présentée à l'Académie des Sciences en iSjî et imprimée en i835 dans le tome XV du Journal de l'hcole Poly technique .

D'autres démonstrations ont été données en i843 par M. Combes dans la lithographie de ses Leçons de Mécanique faites à l'École des Mines, et par M.l'ertrand, dans les Cow/;i« rendus de l'année i856(t. XLUI, p. iioS).

358 KOTE I.

Rien n'empêche de supposer qu'à l'instant même où l'on établit les liaisons Lj = o, Mi = o- . . . , le système soit mis enmouvement par des percussions, c'est-à-dire par des forces d'une très-grande intensité agissant pendant un temps inappréciable sur les différents points m, m'. . . . , et capables de leur imprimer, sHls étaient libres^ les vitesses v^, ^'. . . . . qui se changent en v'i, v^'j, . . . par l'effet des liaisons L^ =0, Mi = o,.... Chaque vitesse vse décompoiant en i^i et «i, on aura toujours

\ mi>- — - ^ m(>1 -r- \ I

Considérons de nouveau un système de points en mouvement, 772, 77î'...., assujettis à des liaisons L:=:o, M = o,... indépendantesdu temps; supposons qu'à un instant donné pour lequel ces points ont les vitesses t^, u' — on établisse de nouvelles liaisons exprimées par les équations Li = o, Mj = o...., et parmi lesquelles se trouvent comprises toutes les anciennes liaisons. Appelons t'j la vitesse que prendra le point m, qui avait auparavant la vitesse u. En décomposant celte vitesse w en ^'l et Ui, on a trouvé

\ 7/;c' — \ niv] = y I

OU

> 7rt(^-— > mv\ =z\ m[(a — «,)^H- {b — ^,)=-i- (c — c,y]. l^ Là La

Ou déduit immédiatement des propositions qui précèdent quelques propi iétés de mouvement déjà connues, qu'on avait démontrées par des calculs plus ou moins simples. Par exemple, si l'on considère un corps solide eu mouvement autour d'un point fixe, la somme des forces vives de tous les points de ce corps à une époque quelconque de son mouvement est toujours plus grande que celle qu'on obtiendrait si, en conservant à chaque molécule sa vitesse actuelle, on fixait un point quelconque de

KOTE I. 35g

ce corps situé hors de cet axe instantané ou, en d'autres termes, si l'on forçait le corps à tourner autour d'un axe diiïérent de son axe instantané. Il en est de même pour un mouvement initial. Si un corps solide retenu par un point fixe est mis en mouvement par des percussions, i'axe instantané autour duquel il commencera ta lounicr sera, parmi tous les axes passant par le point fixe qu'on peut imaginer dans le corps, celui pour lequel la somme des forces vives initiales est un maximum, c'est-à-dire que cette somme sera plus grande que celle que produiraient les mêmes percussions, si l'on assujettissait le corps à tourner autour d'un axe différent de Vaxe spontané. Euler et Lagrange avaient dit que la somme des foices vives du corps tournant autour de son axe spontané, devait être un maximum ou un minimum, M. Delaunay a prouvé, par l'application delà méthode générale des maxima et minima, que cette force vive est toujours un maximum. Au reste, on obtient aisément cette proposition et une autre encore plus précise parla considération de la surface que M. Poinsot a nommée l'e////^5oiVZe ceiitraL

Le principe général donne de môme, sans aucun calcul, cet autre théorème dû à M. Coriolis.

La somme des forces vives d'un système de points matériels à une époque quelconque de son mouvement est égale à la somme des forces vives que prendraient ces points, si, étant animés de leurs vitesses actuelles, ils venaient à former à cet instant un système de figure invariable assujetti aux mêmes conditions qu'auparavant, plus la somme des forces vives qu'auraient ces points en vertu des seules vitesses relatives par lesquelles ils s'écartent des positions qu'ils occuperaient dans le système solidifié.

La somme des forces vives dans le mouvement que prendrait le système s'il venait à être solidifié dans Tétat oui! se trouve à un instant cjuelconque, et que M.Coiiolis appelle son mouvement niojen pour cet instant, peut tïie.--

36o WOTE I.

même se décomposer en deux parties dont l'une est la force vive qu'aurait la masse lolale du système aiiime'e de la vitesse du centre de gravité, et dont l'autre est la somme des forces vives qu'auraient les molécules dans le mouvement relatif ou apparent du système solidifié autour du centre de gravité considéré comme fixe.

Soit un système de points matériels en mouvement assujettis à des liaisons quelconques qui peuvent ici contenir le temps explicitement (*). Considérons ce système à un instant donné et supposons qu'à cet instant et pour cette même position du système, on lui donne un autre mouvement quelconque différent du mouvement réel, mais toutefois compatible avec les liaisons données. Cet autre mouvement sera, si l'on veut, purement fictif. On pourra décomposer la vitesse u de chaque point m dans le premier mouvement en deux vitesses, dont l'une p^j soit la vitesse de ce point dans le second mouvement, Fauîre composante w sera la vitesse perdue ou relative aveclaquel le le point devrait s'écarter de la position qu'il occuperait dans le mouvement fictif (après l'instant </f) pour arriver à celle qu'il occupe dans le mouvement réel : le produit wr/f de cette vitesse perdue ou relative par l'élément du temps peut être appelé le déplacement relatif du point m, vdt étant le déplacement réel, et v^ dt le déplacement fictif.

Cela posé, la demi-somme des forces vives- \ nmy- correspondantes aux vitesses relatives w, prendra dans chaque instant dt un accroissement égal à la somme des c|uantités

(*) Dans un système de liaisons L == o, M ^ o, N =; o,. .., fonctions du temps, on peut toujours supposer qu'une seule renferme t. explicitement, en éliminant i entre elle et les autres. Mais l'équation des forces vives devient

d.'V«!t.-=3 V(xjx-+- Y<?jH-z<?2) — ;,^jr.

il n'est pas le même que si l'on conservait toutes les liaisons fondions du temps.) {Noie de M. Slurm.)

KOTE I. 36 I

de travail élémentaire Voidt cos(P, w), dues aux forces extérieures P qui agissent sur les points du système et à leurs déplacements relatifs, plus les quantités de travail Qctidt cos (Q, w) qu'on obtient en considérant les forces Q égales et contraires à celles qui donneraient à chaque point supposé libre et d'abord animé de la vitesse fictive t^i, le mouvement fictif qu'on a supposé, et multipliant ces nouvelles forces Q par les mêmes déplacements relatifs wdt projetés sur les directions des forces : en sorte qu'on a, pour un temps quelconque,

= 2/ \ Pcosw<^^cos(P, w) -h ?. / \ Qwf//f cos(0, w),

Wo étant la valeur initiale de w à l'origine du temps.

Pour démontrer ce théorème (*), nommons ce, 6, 7 les composantes delà vitesse w, «i, ^j, Ci, celles delà vitesse fictive, a, b, c celles de la vitesse réelle, et X, Y, Z celles de la force motrice P. En conservant les notations déjà employées, on a

OU, à cause de « = «j -]- a, Z> = /?i H- S, . . . ,

' cl a 1 cl y.

dt clt

l y iX3x -h Yâj -T- ZSz) — \

clt dt j -^ \dt clt j J Mais l'équation de condition L =:^ o donne

dL dL dL , dh dL ,

-77+-— « + -—6-!- -— cH---, « -+-...1=0, dt dx dy dz dx

(*) Ce théorème a été aussi démontré par M. Combes (Cours de Mécanique professé à l'Eeole des Mines). Dans l'exemplaire qu'il possédait, M. Sturm avait ajouté en marge sa démonstration, que nous reproduisons

Cl V

tisque - == a,

dv -

dl. dL

puisque les vitesses aj, èj, . . . , sont compatibles avec les liaisons du système à l'époque t.

Donc, en retranchant les deux équations précédentes, on aura

dh , . dh

-— - rt — «,) -f- -— - ( 6 — é, -1- , . . = O , dcr dy

OU

Donc on peut prendre pour vitesses virtuelles a c?/, ^ài. . . . , c'est-à-dire faire

^x = a.dt , 'îj =: Sc/^ , . . . ,

et l'équation (Z) devient

m [ad 01. -r- êf/ê -\- jdy).

de la force Q étant — Q — 5 —Q —j —Q — 5 la formule précédente revient à

^^\ woj\— aX V M dt cas {P,oy) -h ^\ Qwr/^cos(Q, w),

ce qui démontre le théorème énoncé.

On peut encore supposer dans cette formule que les forces Q soient des forces égales et contraires à celles qui seraient capables de produire le mouvement fictif à l'aide

Le second membre est égal à- d\ mw^ elles composantes

NOTE I. 36o

des liaisons données; car on aurait, d'après le principe de d'Alembert,

sans avoir

w — = Qcos(Q, x). . ., Autrement . On a les deux éqnations

dt j

"/ da\ / L\ dt j \

en appelant Xi, Yi, Zj les composantes des forces — Q.qui donneraient aux points le mouvement fictif. De là

' ^ dt dt

ou

Mais on peut prendre ^ x ^^ en. di, ôj ~~ ê df , . . . , Donc... (*).

Cette proposition comprend le beau théorème que M. Coriolis a donné pour l'extension du principe des forces vives ou de la transmission du travail aux mouvements relatifs en vertu desquels les points d'un système animés de leurs vitesses acquises à chaque instant s'écai'teraient des positions infiniment voisines qu'ils prendraient dans le système solidifié. M. Coiiolis a fait des applications importantes de son théorème : il en a donné

(*) Application. — Prendre le mouvement d'une planète pour le mouvement réel et le mouvement elliptique pour le mouvement nctii'.

{Note de M. S lui m.)

db4 NOTE I.

un autre analogue pour estimer la force vive dans le mouvement fictif, et qui peut aussi être généralisé, comme l'exprime la formule suivante :

cl\ mv] = 2^ P(^i r/^cos(P, fi) — 2 ^ Qwû?fcos(Q, w),

qui suppose, toutefois, les liaisons indépendantes du temps. Dans cette hypothèse, en ajoutant les valeurs précédentes de d\ ui(x)r et de d\ mu], on retrouve l'équation ordinaire des forces vives.

Dans la démonstration de ces formules, on observe qu'en décomposant le mouvement réel de chaque point en un mouvement fictif quelconque satisfaisant à toutes les conditions du système, et en un mouvement relatif, ce dernier peut toujours être pris pour un mouvement virtuel quelconque compatible avec toutes les liaisons données, quand bien même elles dépendraient du temps explicitement. Cette remarque suffit pour déduire de la formule généi^ale de dynamique toutes les équations du mouvement relatif du système, en supposant connu le mouvement fictif à chaque instant.

Note sur le théorème de la page 353. — La vitesse du point m ne peut varier d'une manière continue depuis s^ jusqu'à Vi pendant le temps 9 si les nouvelles liaisons L = o, M = o^... sont indépendantes du temps 5 car pour t = o on a

(1) \ dm dm ,

puisque les vitesses t^ sont incompatibles avec les liaisons L := o, M =r o, . . , ou ^/L = o, <^M = o, . . . .

Mais dans l'iusiant suivant i', la vitesse devient v' et

doit être compatible avec L — o, M = o, - . . , puisque ces liaisons doivent par hypothèse subsister depuis t = o jusqu'à £ = 0 et au delà. On a donc pour t =. t'

^ ' dx dy

Mais, dans les formules (i) et (2), —,—?••• ont sensiblement les mêmes valeurs, puisque les points ne sont pas sensiblement déplacés. D'ailleurs la vitesse variant d'une manière continue, i^' diffère infiniment peu de r,

a' de rt, h' de è et c' de c. Donc -^ « + -7- ^ + • • • ^^if^ère

dx dy

infiniment peu de — ^ «' H -£'-!-..., c'est-à-dire de

^ dx dy

zéro, ce qui est faux, puisque les vitesses initiales a, h^ c

... , dL dL j

sont arbitraires, et que par conséquent -— a H — — a -V- . ..

peut avoir une valeur quelconque différente de zéro. Mais il n'y a plus aucune absurdité si l'on suppose que les liaisons L = o, M — o, . . . contiennent le temps pendant le temps 0 et deviennent ensuite indépendantes du temps; car la liaison L = o peut être exprimée par ©(a:, y, z^ x'^. . .) = t ou ^ (f), ^ [t] étant très -petit pendant le temps Q et nul après ce temps, tandis que (|/' (?) a une valeur finie qui s'évanouit après G. En supposant, par exemple,

on aura pour un temps quelconque (depuis zéro jusqu'à Q)

dh r/L dx dL, dy

lit dx dt dy dt ' '

d'où, pour t = o,

r/L ^/L ^ r/L ^ dt dx dy

T . c/L it rfL -.