ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU MOUVEMENT RELATIF

Par M. A. de Salnt-Germain.

Le mouvement relatif d'un point matériel, par rapport à un système d'axes ou de points de repère dont le mouvement est bien connu, peut toujours se déterminer comme un mouvement absolu, à condition d'adjoindre aux forces qui sollicitent réellement le mobile certaines forces fictives, à\\Qs forces apparentes, dont nous allons donner, d'une manière générale, la grandeur et la direction. Cherchons d'abord l'accélération totale d'un point, connaissant le mouvement relatif du point et le mouvement du système de comparaison, qu'on appelle mouvement d' entraînement.

Soient, à une époque f , x, y, z les coordonnées absolues d'un point M; Xi, j^j, z^ ses coordonnées relatives à trois axes rectangulaires OjXi, Oij'i, Oj^i, que je prends pour lignes de repère. Les premières ont en fonc-

HOTE lïï. ' 38i

tion des secondes des expressions de forme connue ;

j= p ^ a'x.y-\-b'j\-\-c'z^, z=zy -^ a" ,ri -[- h"y^ + c" Zy .

a, [3, y, a, ^, ... sont des fonctions connues du temps qui définissent la position des axes mobiles. La vitesse v du point M a pour projection sur l'axe des x

dx de da dh de

dt dt ' ^ dt " ' dt ' "' dt

dx^ dr^ dz^

Les trois derniers termes représentent les projections des composantes, parallèles aux axes mobiles, de la vitesse relative v^ ; leur somme est donc la projection de t^, , Quant aux quatre premiers termes, leur somme est égale à la projection de ce que deviendrait v si X\, ji, Zi étaient constants, c'est-à-dire de la vitesse d'un point qui coïnciderait avec M à l'époque t, mais ne bougerait pas par rapport aux axes de comparaison ; cette vitesse s'appelle 'vitesse d' entraînement .

Les projections de la vitesse absolue sur les axes des j^ et des z peuvent se décomposer d'une manière analogue à la précédente; cette vitesse se déduit de la vitesse relative et de la vitesse d'entraînement comme la résultante de deux forces se déduit de ces forces; suivant l'expression adoptée en Géométrie dans un sens général, la vitesse absolue est la résultante de la vitesse relative et de la vitesse d'entraînement. Il suffît de considérer le triangle dont les trois côtés représentent ces vitesses pour voir que la vitesse relative est la résultante de la vitesse absolue et de la vitesse d'entraînement changée de sens.

Le mouvement des axes mobiles peut être regardé

(§ 659) comme résultant de deux autres : un mouvement de translation, dont la vitesse est à chaque instant celle du point O), et un mouvement de rotation, qui se fait à l'époque t avec une vitesse w autour d'un axe instantané Oi I. La vitesse d'entraînement peut être regardée comme la résultante de deux vitesses dues à ce double mouvement : la première, dont les projections sont

<-/■« d^ dy dt dt dt

correspond au mouvement de translation ; la seconde a pour projections

(la dh de

'~dF ■^-^'* "^ "^"^ 'dt'

da' dh' de'

'''dï"^^'''dr'^'''dï' • da" dh" de" ^

'^~dr~^-^^~dr ^ ^'Ht'^

c'est la vitesse que la rotation w donnerait à un point coïncidant avec M et lié au système O^x^y^z^. Rappelons qu'on a trouvé (§ 649), pour ses projections sur les axes mobiles,

(3) g^i—f'ji, rxi—pzi, pji— q'.ri,

Piq il' étant les composantes de la rotation instantanée 00. La projection de l'accélération 9 sur l'axe des x s'obtient en différentiant l'équation (i) ;

rZ^ ,r d'^ a d^ a d- h d^ c

liF'^'dê^''''dF'^^''~d^~^^''dF

d^.r, , d'Y, d^ Za

+ ^ —TT + ^ -JT- + ^ -7Tdt^ df- df-

d.\\ da djy dh dt dt dt

dh dz, dc\ dt dt dt)

huXi se reportant a ce qui a ele dit pour — 5 on voit que

la somme des quatre premiers ternies représente la projection de l'accélération d'un point coïncidant avec M à l'époque i, mais lié invariablement à OiX\ ju^t '■ c'est l'accélération d'entraînement; la somme des trois suivants est égale à la projection de l'accélération relative; nous dirons que le trinôme final, qui est multiplié par 2, représente la projection d'une accélération complémentaire. M. Gilbert a remarqué que ce trinôme se déduit de la première des quantités ( 2) en y remplaçant Xi, y^^ Zi

dx^ dy\ dz\ . -. , . . , , .

par — -, -^> — j c est donc la projection de la vitesse

que la rotation w imprimerait à un point H dont les coordonnées par rapport à Oj^Ci, 0,j'^,, OjZ, seraient -—^y

—~i —■■, on voit que 0,H représente la vitesse relative

de M.

Les projections de (p sur les deux autres axes donnent lieu à des" résultats analogues; donc l'accélération totale est la résultante de l'accélération d'entraînement, de l'accélération relative et de l'accélération complémentaire; celle-ci est égale à2 wç'i sinIO< H, perpendiculaire à l'axe instantané et à la vitesse relative ; enfin elle est dirigée dans le sens où la rotation tend à entraîner le point H, c'est-à-dire vers la droite de 0,H pour un observateur dirigé suivant l'axe de la rotation instantanée.

Le polygone qui permet de construire l'accélération totale à l'aide de ses composantes montre que l'accélération relative (f , est la résultante de (f et des accélérations d'entraînement et complémentaire prises en sens contraires ; ces accélérations ainsi changées de sens s'appellent «cce7emtio7z d'inertie d'ejiLraînement et accélération centrifuge composée ; désignons-les par çp' et o".

384 NOTE m.

La dernière, perpendiculaire à 10, H, est dirigée à gauche de O, H par rapport à l'axe de la rotation instantanée ; ses projections sur les axes mobiles se déduisent des formules (3) en y remplaçant x^, r,, z. par —^5 -^5 -^,

changeant les signes et multipliant par 1. Les projections de çp' ne peuvent se calculer d'une manière générale.

Supposons maintenant que le point M soit un point matériel de masse m\ pour lui donner un mouvement absolu tel que ses coordonnées par rapport à des axes fixes soient à chaque instant égales aux fonctions de t que nous avons appelées x, , y\ , Zi , il faut faire agir sur lui une force égale à /ncf, et placée par rapport aux axes fixes dont il vient d'être question comme cpi l'est par rapport k0^x^y,^z^. Construisons un polygone dont les côtés soient parallèles à cfi, (p, , çp', tp" et égaux à ces accélérations multipliées par in\ la force iw^^, qui donnerait au point M un mouvement absolu identique à son mouvement relatif, est la résultante de trois autres : 1° ime force parallèle à cp et égale à vi^ : c'est la résultante F des forces qui agissent réellement sur M ; 2° une force F' parallèle à ç' et égale à m^^ : c'est X^l force d'inertie d^ entraînement, égale et de sens contraire à celle qu'il faudrait appliquer à la masse m pour qu'elle ne bougeât point par rapport à Oi x^y\ z^ ; 3° une force Y' = //icp", parallèle à (p", appelée force centrifuge composée. En supposant que M soit sollicité, outre la force F, par F' et F", ailes forces apparentes, on peut déterminer son mouvement relatif comme un mouvement absolu ; cet important théorème est dû à Coriolis.

Soient Xi, Y,, Z, les composantes de F suivant O, Xj, 0^r\, 0^z^•, X',, Y',, Z', celles de F'; les composantes de F" se déduisent de celles de cf" en les multipliant par m, et l'on a, pour les équations générales du mouvement

relatif,

dt- ^ \ dt dt

d'^Yt , I dz\ dx,

m^ = Yi-hY\+ imip --^ - r—1

dt- ^ V '^^^ '■^'^

"'-dF='^'^^^-^'"'i:^^~^'-dF

La force centrifuge composée s'annule quand le pointM est en équilibre relatif. Or, pour maintenir un point pesant en équilibre apparent à la sui^face de la Terre, il faut lui appliquer une force dirigée suivant la verticale ascendante et égale à son poids : c'est dire que l'attraction de la Terre et la force d'inertie d'entraînement ont pour résultante la force que nous appelons le poids du corps, et, pour étudier les mouvements apparents des corps à la surface du globe, il suffît d'exprimer qu'ils sont soumis à la pesanteur, aux forces particulières qui agissent dans les cas considérés, enfin à la force centrifuge composée. Prenons pour axe des Xi la tangente au méridien dirigée vers le nord, pour axe des J^^ la tangente au parallèle dirigée vers l'est, pour axe des Zi la verticale montante ; soient A la latitude du lieu, n la

vitesse de rotation de la Terre, ,,,. ,.^ =; 0,000078, dont

l'axe est dirigé vers le sud; p, y, /• sont respectivement égaux à — n cos X, o, — n sin A. Si X^ , Yi , T^ désignent les composantes de la force qui sollicite le point, indépendamment de son poids, les équations du mouvement apparent à la surface terrestre sont

d^X^ . dYx

m — — - = Xi — ^mn smA ——5 dû' . dt

d^Y\ „ , / . . dxy dzi

m ——• := Y, -f- imn sniÀ — cosA — -

dt^ \ dt dt ^

Stirji. — Méc. II. , 25

.')85 KOTE IV.

On en déduit la déviation vers l'est des corps abandonnés à leur poids et le mouvement du pendule exposé dans la Note précédente.