ÉQUATIONS DE LAGRANGE. — ÉQUATIONS CANONIQUES

Par M. A. de Saixt-Germain,

Professeur à la Faculté des Sciences de Caen.

Equations de Lagrange.

On a vu dans la XXXVP Leçon que le mouvement d'un système de k points matériels sollicités par des forces données peut être déterminé, en vertu du principe de d'Alerabèrt, par l'équation générale

fp .r „ 'i'^Y ^ f^' ~ ^

— ^ (J.r -\ '- Sy ^ flz

dt- df- -^ dt-

\ =y (X(?.?: -t- Y(?j-t-Zry:

^x, èy^ àz sont les projections d'un déplacement virtuel quelconque compatible avec les liaisons du système, que je suppose exprimées par ^ équations de condition

Souvent le moyen le plus simple de faire connaître à un certain instant la position des divers points du système n'est pas de donner leurs 3A coordonnées rectilignes; mais on peut considérer n variables, q\^q^, ...,

(') Ces questions, récemment introduites dans le projjramme de la Licence, forment un complément immédiat à la Leçon XXX VI de Sturm.

KOTE IV. 38^

qn, dont les valeurs déterminent d'une façon plus claire l'état du système. Il faudra que les anciennes coordonnées puissent s'exprimer en fonction des nouvelles inconnues par des relations de la forme

qi, q^, ..., q,i seront liés par « — (3A — fx) équations de condition telles que, si l'on en tient compte après avoir remplacé dans les équations [i) x, j, z, ... par leurs valeurs (3 ), on ait des identités. Généralement n est égal kZh — f/, les variables q sont indépendantes et constituent les coordonnées qui définissent de la manière la plus simple la position du système considéré.

Il s'agit de voir d'une manière générale comment se transforme l'équation (i) lorsqu'aux coordonnées x^j'^, z, ... on substitue ^^, ^o? •••? ^n- Cette transformation e^ effectuée très heureusement dans le Livre II de la Mécanique analjtiq lie; je ne reproduirai cependant pas exactement les calculs de Lagrange, parce qu'ils sont faits dans l'hypothèse où les fonctions (3) ne dépendent pas explicitement du temps et parce que je ne veux pas invoquer les principes du Calcul des variations, dontSturm n'a pas fait usage dans ses Leçons. Représentons par des lettres accentuées les dérivées prises par rapport au temps et par d la caractéristique des dérivées partielles ; considérons, avec Lagrange, la demi-force vive du système

nous en tirerons

dT d^x „ d dT

Ox dt'^ dt àx'

ce qui permettra d'écrire l'équation (i) sous la forme

suivante

, cl dT ^ d dT ^ d ôT

ÔX — -—-y H- dV ■— -r— + 0- — -,-7

dl Ox dt Of dt dz

Pour effectuer notre changement de variables, nous tirerons des équations (3), en traitant t comme une constante,

dx , àx , ^'^ j

Si l'on remplace (5x, ày, . . . par ces valeurs dans le second membre de l'équation (4), et si dans les expressions de X, Y, Z on substitue à x, y, z leurs valeurs (3 ), on trouve sans artifice particulier la nouvelle expression du travail élémentaire virtuel:

Le premier membre de l'équation (4) devient V ^ \àx d^ dT

le second 2 s 'étendant aux Zk coordonnées rectilignes. Calculons le coefficient de ^y^,

V^ dx d ^T rZ Y àx dT V^ dT d dx

Zà dcji dt dx' ~' dt Za dqt dx' Zd dx' dt dqi

les 2 s'étendant toujours aux 3 A coordonnées. Les deux parties du second membre vont se simplifier grâce aux

KOTE IV. 389

valeurs de -r^ et de sadérivée par rapport au temps. Différentions les équations (3) par rapport à cette variable :

, ^ > , dx d.v , dr , dx ,

àt dq^' Oq. ^- dq^ ^'^

Comme les fonctionsyet leurs dérivées partielles ne con tiennent pas les g', il en résulte que x' est fonction linéaire de ces quantités et que -

àq'i ~~ àqi

T, fonction des x' , j', z' , devient, quand on remplace ces dérivées par leurs valeurs (6), fonction des q et des fj' j et l'on a

dT dx Y àT dx' dT dx' 'dqi Zu dx' dq'i ~~ dc/i

Prenons les dérivées des deux membres de l'équation (6) par rapport kqi'.

dx' d'x d^-x , d-x ,

dqi~ dtdqi dq^dqi"^^ "' dq^Ôq,^"-'

En intervertissant l'ordre des dérivations, on a dx' d-x d\r , d^x ,

dq~ dqidt dqidq/^^ ' '" dqidq,^^"-'

Le second membre est la dérivée par rapport à f de

-rr- supposé exprimé en fonction de ^( , q^, . . . ,q,i et f ;

donc

1 ax d dx "Y dT dx' ^T

idx dt dqi~ Z^dx' dqi "~ dqi

Cette relation, jointe à l'équation (^), nous donne la valeur du coefficient de ^qi dans la transformée du pre-

SgO NOTE IV.

miermembre. de l'équation (4) ; sinoustenons compte de réquation (5), qui transforme le second membre en fonction des qi, nous pourrons écrire l'équation cherchée, en faisant tout passer dans le premier membre, sous la forme définitive

d rn dT \ ^

On tirera des équations auxquelles satisfont^), q^, ■•■ les valeurs de quelques-unes de leurs variations en fonction des autres, on les substituera dans l'équation précédente, et 1 on égalera à zéro les coefficients des variations qui restent et qui sont indéterminées. Le plus ordinairement, q^, q^-, • . -, qn sont des variables indépendantes, et l'on doit égaler à zéro le coefficient de chaque variation dans l'équation (8); le mouvement du système est déterminé par n équations simultanées qu'on appelle les équations de Lagrange :

! d àT àT

dt dq\ dçi '

d dT dT (9) \ «^^ ^î'2 ^72 ^-~ '

d dT dT dt dq'„ dq^

Quand on aura choisi les inconnues les plus propres à définir l'état du système à un instant quelconque, on formera l'expression deT, puis celle de Q,, Q2, ..., Q», et l'on aura un procédé uniforme pour mettre en équation un problème quelconque de Dynamique ; on ne s'occupe pas des forces qui représenteraient l'efl'et des liaisons, mais ces forces se calculent aisément, une fois le mouvement connu.

NOTE IV. aç)i

Il arrive souvent que la somme des travaux virtuels 2(Xd'a: -+-Y§j-h Ziâz) est la variation exacte d'une fonction U des coordonnées des points mobiles 5 si dans U on remplace x, y, z, ... par leurs valeurs (3), cette fonction, àiie fonction des forces, dépendra de t et de ^o 72^ . . . , 7/2 ; sa vaination, prise en traitant t comme une constante, sera égale à Q, Bq\ + . . . . Donc on aura, dans ce cas,

àqi Oq^

On obtiendra Qi, Qo, ... en différentiant la valeur de U exprimée au moyen de t et des (j, sans être obligé de transformer directement S (Xdo: -r . • .), etles équations de Lagrange deviendront

dT

du

dq\

àqi

àqy~

en

ÔT

Jt

àq'.,

àq^

oq.r

Nous allons montrer qu'en supposant les liaisons indépendantes du temps, c'est-à-dire les fonctions (3) indépendantes de t, ces équations donnent l'équation des forces vives. Ajoutons-les après les avoir multipliées respectivement par dq\, dq'^, . . ., dqn, et nous aurons

Oi a -r-y — > ^-— dq; — > - — dq; = o

Otl

XT • • à^ àr , T ,„

iuais, puisque -^5 -Y-5 — • sont nuis dans In^' ' ' -^se

admise, en se reportant aux valeurs (6) de x', j', .... on

Sga KOTE IV.

voit que T est une fonction homogène du second degré des q\ et le théorème des fonctions homogènes nous donne

La dernière équation équivaut, on le voit sans peine, à idl— ^T — ^ = o;

l'intégrale est celle des forces vives, T — U = const.

Nous allons appliquer les équations de Lagrange à la résolution de quelques problèmes particuliers.

Pendule conique.

Reprenons la question traitée dans la XLIV^ Leçon sur le mouvement d'un point pesant soutenu par un fil ou par une tige inextensible et sans masse qui l'oblige à rester sur la surface d'une sphère de rayon /. Les coordonnées rectangulaires du pendule sont assujetties à la condition

On peut définir la position du pendule par l'angle B de sa tige avec la verticale et par l'angle t|> que le plan vertical contenant cette tige fait avec un plan vertical fixe. Les variables q de la théorie générale se réduisent à deux, B et 'i/. Une transformation de coordonnées bien "connue donne oc,j, z en fonction ûeB el^ :

[2>bls) x ^=lûnO cos-h, y 1= l AnQ ûnii , z-=lcos6.

On vérifiera que ces valeurs satisfont identiquement à l'équation (2 his). On obtient la demi-force vive T en calculant x',y, z' par la différentiation des équations (3 his\ ou en se rappelant l'expression de la vitesse en

KOTE IV. 090

coordonnées polaires; si l'on suppose la masse du pendule égale à l'unité, on trouve

On forme les dérivées partielles

La fonction des forces U existe : elle est égale à

gz = gl cos 0 ; donc

. . àU , . , dT]

^ ÔB " d\i

Nous avons tous les éléments pour former les équations (10) du paragraphe précédent, et nous trouvons

— Z^e' — l^ sine cose-f 2 4- g-^sin 0 = 0,

cU

dt ^

La seconde donne /- sin-0(];'= C; si l'on en tire t|^ pour le substituer dans la première, celle-ci devient

„^Ô' C^ cosQ , . „

L' ^-^ h gl smS = o.

En multipliant par 2 dB, on peut intégrer et l'on trouve

l-0'^--h——- 2oZcos9 = G',

l- sin- 6 ^

± /- sin 9 de dt = .

^C i'^ sin^Ô -f- 'i.gV- cosô sni^^ — C-

II serait avantageux d'étudier le mouvement en cherchant comment varie 0; mais, si dans la formule précé-

3g4 »'OTE IV.

dente on remplace IcosQ par z, IsmuM par — dz, l- ûn-Q par l^ — z^, el C par ^g{^io — ^o), on retombe sur l'équation (5) du § 578, dont les conséquences ont été développées dans le texte de Sturm.

Mouvement d'un point à l'i/itérieur d'un tube.

Nous nous proposons de déterminer le mouvement d'une très-petite sphère placée dans un tube recliligne parfaitement poli, dont le diamètre est égal à celui de la Sphère, et qui tourne uniformément autour d'un axe horizontal.

Nous n'avons encore qu'un seul point mobile, mais il est assujetti à une liaison qui change avec le temps, puisqu'il doit rester sur une droite qui se déplace suivant une loi donnée. Soient a la longueur de la perpendiculaire commune OA au tube et à l'axe de rotation, cp l'angle de ces deux droites. A un moment quelconque on connaît la position du tube, et, pour déterminer la position du mobile M, il suffirait de connaître aussi sa distance AM au pied de la perpendiculaire Ox\; je désigne cette distance par q. Prenons trois axes rectangulaires, OX coïncidant avec l'axe de rotation, OZ dirigé en sens contraire de la pesanteur, OY perpendiculaire au plan ZOX, et supposons qu'à l'origine du temps OA soit dirigé suivant OZ et que la portion du tube dans lequel q est positif soit du même côté que OY par rapport à ZOX; à l'époque t, OA ainsi que la projection du tube sur YOZ ont tourné d'un angle wt, et, en projetant le contour OAM sur les trois axes, on obtient les coordonnées rectangulaires de M en fonction de q :

X = q cos»,

^ = — a sinw? + <7 siny cosm?, z:=^ a cf)s w t -\~ q sin y sin w t.

On calcule sans peine oc , y' , z' , et l'on trouve, en supposant la masse de M égale à l'unité, ta demi-force vive

T = -(«z'^ — 2 «&)</' siny -f- ç^w^ sin^© -t- «^w').

La pesanteur est la seule force qui agisse en dehors des liaisons, et son travail virtuel

(JU = — g§z = — §• sinij) siïiM t$q.

Nous avons tous les éléments nécessaires pour former l'équation unique dont nous avons besoin :

d dT di: ôV dt dq' aq dq

Cette équation peut s'écrire

{ I ) — - — w- o sin^ tp -h ,o- sin © sin w ? = o.

Le moyen le plus commode pour intégrer cette équation est de chercher une intégrale particulière de la forme ^ = }isinwz; en svibstituant, on voit qu'une pareille expression satisfait à l'équation (I) en prenant

,<?■ sin y

w-( 1 -t- sni-y j

On pose alors

^sinfflsin&j^

w- (i -h sin"ffl j on porte cette valeur dans l'équation (I), qui donne

— - • — fAj- u sin- o = o.

L'intégrale générale de cette équation linéaire sans second membre est bien connue; en l'ajoutant à l'intégrale particulière qu'on a trouvée d'abord, on obtient

3g6 KOTE IV.

l'intégrale générale de (I) :

La vitesse de glissement de M le long du tube est

dq

lit

= Msina) Ce"'s'"? Be-"''5'"?H ^^'^^^

' | w- [i + sin-y j J

On déterminera G et B à l'aide des valeurs initiales de (j et de —5 caries équations précédentes deviennent,

pour f = o,

e sin ©

^0=zC + B, Çyrr: (C — BjMSinç)

W I + SIU'- o ,

En général, G n'est pas nul; les termes qui le contiennent finissent par être bien supérieurs aux autres dans l'expression de ^ et de ^', et le mobile finit par s'éloigner indéfiniment du point A ; si G est nul, le mouvement tend à devenir oscillatoire. Il est remarquable, dans tous les cas, que ce mouvement ne dépende point de la grandeur de a.

Pendule double.

Je désignerai ainsi le système de deux points pesants A et B attachés en deux points d'un fil flexible, inextensible et sans masse dont une extrémité est fixée en un point O. Je suppose que, les deux portions OA, AB du fil restant toujours tendues, les points A et B aient été écartés de leurs positions d'équilibre et animés de vitesses initiales données, mais de" telle sorte qu'ils ne sortent pas du plan vertical qui contient d'abord OA et AB : il s'agit de chercher le mouvement du système.

On connaît les longueurs aet b des droites OA et AB.; il suffira d'avoir les angles o) et tl' de ces deux lignes

WOTE IV. 3^^

avec la verticale pour déterminer la position des points A et B. Les inconnues de Lagrange se réduisent à deux, cp et di. En prenant pour axe des x l'horizontale menée en O dans le plan où se meut le pendule, pour axe des y la verticale du point O, les coordonnées de A et B sont respectivement

a: ^^ a siny, y =z a coso,

X ■==. a sin (ù + b sin t^, jr = « cosy -t- b cos-i.

Soient m et n les masses des deux points; on trouve la demi-force vive

elle travail de la pesanteur pour un déplacement virtuel du système

(îU = — ma sin ycî'y — n[a siu'^iJy -+- b ûn-^§-!^).

Le lecteur formera sans peine les deux équations de Lagrange qui font connaître le mouvement clierclié, et qui sont, après quelques réductions,

[m-^ n]a—^nbcos[■^-o) — — rtè sin ( ip — y ) -jj + { m -f- « ) ^ sin y = o,

acos{^ — <f)—-hb __asm(-^-î»)— -^ g sm-^ = o.

On a l'intégrale des forces vives, mais on n'aperçoit pas d'autre intégrale rigoureuse ; aussi nous borneronsnous au cas où les angles cj» et ^ restent très-petits. Suivant un principe général, les dérivées de ces angles par rapport au temps doivent être des quantités très-petites du môme ordre; si donc on néglige les petites quantités

3g8 KOTE IV.

du troisième ordre dans les équations du mouvemcn% celles-ci se réduisent à la forme linéaire

— '- -r- nb — ^ dt- dt-

m -\- n)a —^ -}- nb -y^ -\- [m -t- n ^g'f =: o,

1 a —4- + b — ;- + £-ij := o.

\ ^ dt'^ dt- ^ '

La méthode la plus rapide pour intégrer ces équations simultanées consiste à chercher deux intégrales particulières de la forme

en substituant, on voit que les constantes X et /'doivent donner

(m -+- n]ar- -h blr- -{-[m -f- n]g = o, [a -{- b\]f^ + g'^' = 0,

d'où l'on lire

(a) [m 4- n] [ar'^ -\~ g) [br--h g) = abnr\

L'équation (2) donne pour r- deux valeurs négatives

entre lesquelles sont comprises — -et — y-, les quatre

racines de l'équation (2) sont donc de la forme =b j''^ — i , zt 1'" \/ — i; à chacune d'elles correspond un couple d'intégrales particulières du système (i) ; en ajoutant ces intégrales multipliées par des constantes, on obtiendra les deux intégrales générales

r> = Ce'-'V^H- C'e--'-''v/^-f- De''"V~-|- D'e-''"V^,

— (Cd?'''V-i-}-C'e-'-'V-i)

br On peut donner aux arbitraires des valeurs telles que

KOTE IV. 39g

les imaginaires disparaissent et qu'il reste

I© izr G cos r' t ^ Q' sin r' ( -h H cos r" i -i- H' sin ?'" f, ,^s I 4> = ——(Gcos/^t-hG's'mr't)

■■ I \ g — or ■^

I H —,' i H COS r" t 4- H' sin /■" t ) .

\ g - hr"'-

Supposons que pour t = o on ait cp = a, ^j; = j3, 0-'= o, (|/'= o ; en faisant ces hypothèses dans les intégrales précédentes et leurs dérivées premières prises par rapport au temps, on a des équations de condition d'où l'on tire

„ , , cir''^ ar"-

G=H':=o, G4-H = «, r^GH — r,H.= S.

g~ bv^ g — i?r -

En général, le mouvement des deux portions du fil résulte de deux oscillations simultanées dont la période est différente ; pour que ces deux parties oscillent comme des pendules simples, il faudrait que G ou H fût nul, car les racines /•' et r" ne peuvent devenir égales que si « = o, et alors on n'a qu'un pendule simple. Admettons que H soit nul; on aura G -— a, et

g — br-

d'oii

-^bS

Exprimons que cette valeur de r'^ satisfait à l'équation (2); il en résuite

n) a a.- ^ [m -\~ n] [ b — a^«p — mb^'^^ o.

Cette équation montre qu'on peut réaliser le cas particulierconsidéré en donnantà l'écart initial [3 une valeur de même signe que a, mais plus grande en valeur abso-

4oO JNOTE IV.

ay.

lue, OU bien de signe contraire et ^ -r- en valeur absolue. Dans l'un ou l'autre cas les intégrales (3) deviennent, en tenant compte des valeurs des paramètres qui y entrent,

a! = aCOSf, / ~ , •i}»=;Scos?

OA et AB exécutent des oscillations concordantes, mais d'amplitudes différentes; la longueur du pendule synclirone est comprise entre h cxh -\- a^ û. a. et |3 sont de même signe 5 elle est <^ 5 si a et (3 sont de signes contraires.

Si r" était double de r* , condition facile à exprimer, OA et AB auraient un mouvement plus compliqué que celui de la tige d'un pendule simple, mais ce mouvement serait encore périodique et la période serait — ^ •

Equations canoniques.

Nous supposerons expressément, dans les questions dont nous allons nous occuper, qu'on puisse écrire l'intégrale des forces vives, ce qui exige, nous l'avons vu, que les équations de liaison entre les coordonnées des points mobiles ne renferment pas le temps explicitement et que le travail virtuel Y.^'Kdx -^Ydj ^Jjdz) soit la variation exacte d'une fonction U appelée fonction des forces j dans ces questions, qui comprennent les principaux problèmes de la Mécanique rationnelle, on peut déduire des équations de Lagrange un système d'équations remarquables, que Poisson a nommées canoniques, mais qui ont été pour la première fois étudiées par Hamilton.

Admettons qu'on ait exprimé la demi-force vive T au

AOTE IV. 4oi

moyen des n variables indépendantes ^i, q^i • • •? ^« et de leurs dérivées, et posons

dT ()T ax

3~r ■ — P\i -i j — Ps» •••5 -, . — Pli'

Si de ces équations on tire les \'aleurs de ci\, q'.-,, ..., q\^ pour les substituer dans l'expression de T, la demi-force vive deviendra fonction de ^,, q2, ■■■, qn et de /?,, P2j ••••) Pn- Nous allons chercher comment se transforment les équations de Lagi^ange quand au lieu des variables q\ on introduit pi, p-y, •■■, Pn-

Nous conserverons la caractéristique d pour désigner les dérivées partielles quand les variables indépendantes seront les qi et les q'^, et nous reviendrons à la caractéristique d dans le cas où on prendra pour variables indépendantes les qi et les Pi. Il s'agit de trouver les relations qui existent entre les deux systèmes de dérivées partielles de la demi-force vive. La différentielle totale de cette fonctionpeut s'exprimer de deux manières, selon le système de variables indépendantes qu'on envisage :

D'autre part, nous avons vu que, dans les cas que nous considérons, T est une fonction homogène du second degré des q'^, et qu'on a par conséquent

prenant les différentielles totales,

■xdT JS p,dq\-\-y C^.dpi.

Sturm. — 3Icc. II. 26

402 TJOTE IV.

Si l'on ajoute les équations (i) et (2), et qu'on en retranche la précédente, il reste

Les 271 dififérenlielles dqi et dpi sont arbitraires; le coefficient de chacune d'elles doit être nul, et l'on a, pour toutes les valeurs de i,

La fonction U, ne contenant pas les q] et par suite les Pi, est indifférente au changement de variable que nous faisons, et l'on a

OÇi dcji dpi

En vertu de la première de ces relations, de l'équation (3) et de la définition des /?j, on a identiquement'

d d1 d1 t)U __ dpi dT rZÏJ

dt dc/i dqi Ôqi dt dqi dqi

Nous voyons ainsi comment se transforment les équations de Lagrange; mais introduisons, avec Hamilton,

la fonction

et remarquons que l'équation (4) donne, eu égard à la seconde relation (5),

dqi dT cW dU.^ dt "" dp^ dpi dpi '

]\OTE IV. 4o3

les n équations renfermées dans la précédente et les transformées des équations de Lagrange constituent le système des in équations canoniques

dp^ d\\ dt dq^^

dp^^ dll dt dq^J

<lpn ^H dt ~ dq„

dq^ cm dt dp y

dq,^ r/H dt ~ dp,'

dq„ dll dt ~ dp^

H est une fonction connue que l'on devra commencer par calculer. Soit

(7) H = ^]/(^l, 5^2, . . .,qn. Pi, Pi, . • .,Pn]-

Les 2n équations simultanées admettent a/z intégrales renfermant autant d'arbitraires qui entreront avec le temps t dans la valeur des inconnues du problème, y,,

Le système canonique n'a pas encore pu être intégré d'une manière générale, mais il a fourni aux géomètres l'occasion de recherches très-importantes qui ne peuvent trouver place ici; toutefois, j'exposerai, en me restreignant au cas qui nous intéresse directement, un théorème de Jacobi qui constitue, je crois, l'indication la plus utile pour intégrer les équations canoniques.

Equation aux dérivées partielles de Jacobi.

Soit X la constante des forces vives, en sorte qu'on

ait

prenons la fonction (7) qui donne la valeur de H, remplaçons-y les Pi par — ? et égalons l'expression ainsi

4o4 WOTE IV.

formée à — / ^ nous aurons

c'est une équation aux dérivées partielles qui peut déterminer une inconnue S en fonction de <7i , ^2, . . . , qn- Cela posé, voici en quoi consiste le théorème de Jacobi :

Si l'on a trouvé une valeur de S satisfaisant à V équa- '.ion [S] et renjermant n — i arbitraires autres que :elle qu'on peut introduire par simple addition, soit

on pourra écrire immédiatement les intégrales du système canonique (6) sous la forme