Si le corps repose sur le plan
Fig. 129. équations d'équilibre sont
r par deux points, les
Fir;. i3o.
382. Si le corps repeso sur le plan xOy par un nombre quelconque de points d'appui A (^|, r,), B (aTj, /j), C, D, etc., la résistance du plan en ces divers points équivaudra à des forces normales Z,, Zj, Z3,... qui y seraient appliquées; il faut qu'il y ait une résultanle unique et tombant dans l'intérieur du polygone ABCDA.
Les équations générales se réduisent à
X=o, Y=o, N = Or
équilibre des forces appliquées a des cordons.
383. Équilibre des forces appliquées a des cordons qui passe.nt PAR UN MÊME POINT. — Soiont P et Q deux forces qui agissent aux extrémités d'une corde supposée flexible et inextensible. Si cesforces se font équilibre, la corde doit être tendue en ligne droite, et ces forces doivent être égales et contraires. La valeur commune des deux forces est ce qu'on appelle la tension du fil,
384. Si trois forces P^ Q, R, agissent sur un point A, par l'in-
Fig. i3!." termédiaire de trois cordons qui se
réunissent en ce point, et si elles se font équilibre, ces trois cordons sont dans un même plan, et chaque force peut être représentée en grandeur par le sinus de l'angle formé par les directions des deux autres.
383. Supposons qu'on fixe un point B du cordon AP. La pression
422 TABLE AiS ALYTKjLS
que supporte le point B est égale et contraire à la résultante des forces Q et R. Si l'on fixe à la fois un point B du cordon AP et un point C du cordon AQ, la pression que supporte le point C sera égale et contraire à Q.
386j 387. Cas ou l'une des cordes peut glisser dans un an-
Fig. .33.
KEAU. — Si les deux forces P et Q sont appliquées aux extrémités d'une corde PAQ, qui passe dans un anneau retenu par une troisième force R , P = Q est la condition nécessaire et suffisante pour qu'il y ait équilibre.
3S8. Si l'on désigne par a l'angle BAC, on a
R = sP cos - a.
R représente également la pression supportée par le point A, quand on fixe l'anneau.
389. Équilibre du polygone funiculaire. — Soit un polygone funiculaire ABCDEF. Le premier et le dernier cordon, AB et EF, sont sollicités par des forces H et K dirigées nécessairement suivant les prolongements de ces cordons, sans quoi il n'y aurait pas équilibre. Aux différents sommets B, C, D, E sont appliquées des forces quelconques P, P', P", P'", agissant par l'intermédiaire de cordons qui se réunissent en ces points. Il est inutile de supposer plus de trois cordons
l'in. i33.
réunis au même sommet.
390. Dans Vétat d'équilibre, chaque cordon^ tel que CD, dMt être tiré par deux forces égales et contraires qu^oti peut supposer appliquées à ses deux extrémités.
391 à 397. Ce principe conduit aux conditions d'équilibre du polygone funiculaire.
Toutes les forces immédiatement appliquées cm polygone funiculaire, transportées parallèlement à elles-mêmes en un point cjuel-
conque, se font équilibre autour de ce point, et la tension de chaque . cordon est la résultante de toutes les forces qui agissent d'un même côté de ce cordon.
Réciproquement, si les forces sont telles, que, transportées parallèlement à elles-mêmes en un point ciuelconque, elles s'y fassent équilibre ^ il y aura toujours une figure d'équilibre.
398. Cas ou il y a des anneaux. — Si tous les sommets portent des anneaux, les tensions de tous les cordons sont égales, d'cù résulte
P=2HcosiB, P'=2Hcos-G,
399. Si l'on se donnait la figure du polygone, on connaîtrait par là en grandeur et en direction les forces qu'il faudrait appliquer à chaque sommet pour le tenir en équilibre.
400. 401. Supposons que les cordes extrêmes AB, EF soient dans un même plan. Pour avoir la tension des cordons extrêmes, il suffit de décomposer suivant leurs directions la résultante de toutes ies forces transportées parallèlement à elles-mêmes au point de rencontre de ces cordons.
402, Cas ou il y a plusieurs cordons a un même sommet du POLYGONE. — Il faut, pour l'équilibre, que l'une quelconque des forces qui sollicitent les cordons soit égale et directement contrairp, à la résultante de toutes les autres. Si l'on fixe un point sur chacun des cordons, excepté sur un seul, les pressions que la force F exerce sur les points fixes, s'il n'y a que trois cordons, non situés dans le même plan, s'obtiendront en décomposant la force P en trois autres agissant suivant les prolongements des cordons. S'il y a plus de trois cordons, le problème devient indéterminé.
ÉQUILIBRE d'un FIL FLEXIBLE.
403. Direction de la tension dans un fil en équilibre. — Soit AMB un fil flexible, d'une très-petite épaisseur, attaché par ses extrémités à deux points fixes A et B, et dont tous les points sont sollicités par de très-petites forces.
Soit M lin point quelconque de ce fil. Les deux parties AM, îJ3 exercent l'une sur l'autre, dans l'état d'équilibre, des actions moléculaires égales et contraires. On admet que toutes les forces qui proviennent de AM agissant sur MB , se réduisent à une force unique T appliquée au point M, et de même que la partie MB exerce sur AM une action qui se réduit à une force égale et contraire à T. La valeur commune de ces deux forces est ce qu'on appelle la tension du fil au point M.
40i. La tcnsinn s'exerce suivant la tangente au point SI à la courbe que forme le fil.
-405, 406. JÉQuiuBî'.E d'un fil sollicité par de petites forces. — Soient £ le produit de la section normale par la densité au point M,
P la force qui agit en ce point, X, Y, Z ses composantes parallèles à trois axes Ox, Oj, Oz, et T la tension. Les équations de l'équilibre sont :
cH T
dz
(0 {d{T^\-^Yzds
Zzds
407. LxTÉGRATiON DES EQUATIONS (i). — Soient £>,/, g\ <?',/', s! les angles que les tangentes à la courbe aux points A et B font avec les axes : on a
K cos e -j- K' cos e'+ j X zds = o ;
la somme algéh'ique des composantes parallèles à l'axe Ox, de toutes les forces cjui agissent sur le fid , est nulle.
40S. On déduit des mômes équations
K(fl'cos/— bcose] -l-K'(<7'cos/'— ^'cos^?')
+ / [Yx — Xj) ids = o;
la snmtne des moments de toutes les forces qui agissent sur le fd, par rapport à Oz, est nulle.
409. Soient a, p, 7 les angles que la tangente au point M fait avec les axes et >.. p., v les angles que le rayon de courbure p fait, avec les mêmes axes : les équations (i) peuvent s'écrire
dl cosa H- - — -cos 1 -\-Xeds = o, P
,, . , Tds , ^, ,
d 1 COS p H cos 'j.~\-\e as — - o ,
P dl COS 7 -r- '- COS -J -hZzds = O.
Le plan osculaleiir à la courbe contient la force P.
