Mouvehent de rotation d'un système solide autour d'un
axe fixe. — La vitesse des points situés à une distance de l'axe
égale à l'unité est ce qu'on appelle la vitesse angulaire ou de rota-
ds lion du système. Nous la désignerons par m, La vitesse -r d'un
point quelconque à une distance r de l'axe est représentée par t-w.
53-i. Un mouvement de rotation est dit uniforme quand la vitesse de rotation est constante. Ce mouvement a lieu lorsque les points du système ne sont sollicités par aucune force motrice ou par des forces motrices qui se font équilibre autour de l'axe fixe.
MOUVEMENT DE ROTATION AUTOUR d'uN AXE ( SUITE ).
535. Cas ou le corps est mis en mouvement par des percussions. — Décomposons chaque force instantanée P en deux : Z, parallèle à l'axe Oz; Q, située dans un plan perpendiculaire à cet axe. Soit f la vitesse que cette dernière composante serait capable d'imprimer au point m s'il était libre; w la vitesse de rotation du système; cj la plus courte distance de l'axe et de la force Q ; on aura
536, 537. Si toutes les vitesses <>, v' , c",. . . , sont égales et parallèles; désignons par fx la somme des masses des points qui reçoivent directement cette vitesse commune <>. Appelons /la distance du centre de gravité de la masse p. à un plan passant par l'axe et parallèle à la direction des vitesses. On a
Cette formule convient à un corps solide G mobile autour d'un axe fixe Oz, choqué par un autre corps G, qui après le choc reste attaché en G2 au premier et dont tous les points sont animés de vitesses égales et parallèles.
538, 539. Si le corps est choqué simultanément par plusieurs masses p, p', p.",. . . , animées de vitesses différentes et qui lui demeurent attaehées après tous ces chocs, on aura
540. Si le système, au lieu d'éprouver des percussions simultanées, reçoit une suite de chocs se succédant à des époques quelconquesj la vitesse angulaire sera toujours donnée par la formule précédente.
541 à 543. Calcul des percussions exercées sur l'axe fixe.
— Supposons que le corps soit mis en mouvement par une force instantanée qui imprimerait une vitesse V à une certaine masse p.
au centre de gravité de laquelle elle serait appliquée. Cette force instantanée ou percussion a pour mesure la quantité de mouvement Vpi.
Soient X, Y, Z les composantes do la quantité de mouvement pV, et X,, Y, , Z, celles de la résistance du point 0 ; X2, Yj, Z2 celles de la résistance du
„ dx dr dz
pomtH;enfinm.^, m -^, m^
les composantes de la quantité de mouvement effective pour le point m : soit OH = h. On aura, Jc^ et /, désignant les coordonnées
du centre de gravité du corps eniier,
X + wMj, + X, -t- X, = 0, y - coMj:, + Y, -r- Y, - o,
y, A — Z p — w \^ mxz =-- o, — X, A + Za — &> \ rnrz = o,
Xp - Yan-w
Ces équations déterminent X^ et Y^, X, et Y, et la somme Z, ^Z^, sans déterminer séparément Z, et Z^.
o44 à 546. Conditions pour que l'axe n'éprouve aucune percussion. — Centre de percussion. — i° La direction de la percussion doit être perpendiculaire au plan qui passe par l'axe fixe et par le centre de gravité du corps.
a° Ce plan doit être im des axes principaux pour le point oîi il rencontre le plan qui lui est perpendiculaire et qui contient la force instantanée.
P 3° Enfin la distance de cette force à l'axe doit être ésale k a-] — ,
a étant la distance du centre de gravité du corps à l'axe et MX-^ le
moment d'inertie du corps relativement à un axe mené par ce centre
de gravité parallèlement à l'axe fixe.
5i7. On appelle centre de percussion le point auquel la percussion doit être appliquée dans le plan passant par l'axe et le centre de gravité pour qu'il n'y ait pas d'effort exercé sur l'axe fixe : la
distance du centre de percussion à l'axe fixe est a -|
Si l'axe passait par le centre de gravité, il éprouverait toujours une percussion.
548. Réciproquement, si le corps est en mouvement autour de l'axe, on pourra l'arrêter brusquement sans qu'il existe aucune percussion contre l'axe en appliquant au centre de percussion une force instantanée égale à wl\l<7, perpendiculaire au plan mené par l'axe et par le centre de gravité du corps.
549. Condition pour qu'il n'y ait de percussion qu'en un point DE l'axe. — Si ce point est le point H, et si Z = o, en posant
D = V wjz, E — ^mxz,
l'équation de condition est
DY + EX = wMrt.
Si Oz est un axe principal d'inertie pour le point 0, la percussion est appliquée au point 0.
ROTATION d'un CORPS AUTOUR d'uN AXE (sUITE).
SbO. Rotation d'un corps sollicité par des forces quelconques. — Soient X, Y, Z les composantes de la force motrice P du point m[x, y, z), on a
, y(Y.r-Xj)
(loi >fer.<i '
dt ~~ "V > °
SM à S53. Pressions sur l'axe. — On applique à deux points quelconques 0 et H, pris sur l'axe, deux forces K, (X,, Y,, Z,) et R2(X2, Y^, Zj,), égales et contraires aux pressions exercées sur ces deux points à chaque instant du mouvement. On aura, en posant OH = h, en désignant par (.r,, y\, zj le centre de gravité du système et par M sa masse,
X + ^' Mj, ^- w^Mx, -f- X, -I- X, = o, Y - ^ Ma-, ^- w=Mr, H- Y, -h Y, = o, Z A- Z, -i- Z, .-= o,
(Zj - Yz) +• ^ 2 '"■"' - ''' 2 "'^'' -^^'' = ^'
dt
551. Cas ou il n'y a pas de forces motrices. — Les résistances R, et RvSe réduisent à deux forces perpendiculaires à l'axe, et font équilibre aux forces centrifuges de tous les points du corps qui agissent sur l'axe perpendiculairement à sa direction. La force tangentielle est nulle pour chaque point. Les résistances sont proportionnelles au carré de la vitesse constante w.
555. Si un corps retenu par un seul point fixe commence à tourner autour cVun des axes principaux relatifs à ce point, il continuera à tourner uniformément autour de cet axe comme s'il était fixe.
La pression sur le point 0 est dirigée dans le plan qui passe par l'axe et par le centre de gravité.
556. Pour que le point 0 ne supporte aucune pression, il faut et il suffit que le centre de gravité soit sur l'axe de rotation, et alors le mouvement ayant commencé autour de cet axe, supposé fixe, continuera uniformément autour du même axe lorsqu'on le rendra entièrement libre.
557. 558. Cas ou les forces motrices se réduisent a un COUPLE. — Les conséquences précédentes subsistent quand les forces motrices se réduisent à un couple situé dans un plan perpendiculaire à l'axe.
559. Un corps retenu par un point fixe 0 et sollicité par un couple ne tend pas à tourner autour d'une perpendiculaire Oz au plan de ce couple, à moins que cette perpendiculaire ne soit l'un des axes principaux relatifs au point 0.
560 à 563. Mouvement du treuil.
pendule composé.
