Considérons maintenant un polygone funiculaire

p. „, ou un syslèoiedepoiats. A,

B, C, D, E, F, liés entre eux par des cordons. Le premier et le dernier cordon, AB et EF, sont sollicités par des forces H et K dirigées nécessairement suivant les proîoiigemenis de ces cordons, sans quoi il n'y aurait pas équilibre. Aux diilérenls som-

mets B, C, D, E sont appliquées des forces quelconques P, P', P", P'", agissant par l'intermédiaire de cordons qui se réunissent en ces points. Il est inutile de supposer plus de trois cordons l'éuuis au même sommet; car si l'on avaitj au sommet B, un autre cordon sollicité parune foixe Q, on pourrait composer cette force avec la première et ne considérer que la résultante des deux forces P et Q.

390. Dans r état €1"" équilibre, chaque cordon, tel que CD, doit être tiré par deux forces égales et contraires qu on peut supposer appliquées à ses deux extrémités. En effet, si l'on coupait le cordon CD au point I, l'équilibre serait détruit et chacun des deux points C et D serait entraîné dans une certaine direction. Les deux forces qui solliciteraient ces deux points étant actuellement détruites par la liaison que le cordon établit entre eux, sont nécessairement contraires et dirigées suivant le prolongement du cordon CD. Cliacune de ces forces représente la tension du cordon.

391. Ce principe conduit aux conditions d'équilibre du polygone funiculaire.

La force P et la force H, dont on peut supposer le point d'application transporté de A en B, ont une résultante X dirigée suivant le prolongement du cordon CB. En effet, puisqu'il y a équilibre, il ne sera pas troublé, si l'on suppose le point C fixe, eton voit bien alors que X doit avoir la direction BC. La forc« X mesure en même temps la tension du cordon BC; car puisqu'il y a équilibre, celui-ci doit être tiré en C par une force égale et contraire à X. En transportant X au point C, on voit de même que la résultante Y des deux forces X et P'est dirigée suivant le prolongement de CD et mesure la tension de ce cordon. Cette tension Y est donc la résultante des forces H, P, P' transportées parallèlement à ellesmêmes au point C. En continuant ainsi, on verra que

la tension V du dernier cordon s'obtient en composant Jes forces H, P, P', P", P'" transportées parallèlement à elles-mêmes au point E, et comme il y a équilibre, cette force V est égale et directement contraire à la dernière force K.

Ainsi toutes les forces iinniédiatemcnt appliquées au polygone funiculaire, transportées par all'eleinent à ellesmêmes en un point quelconque, se font équilibre autow de ce jjoint, et la tension de chaque cordon est la résultante de toutes les forces qui agissent d'un même côté de ce cordon.

392. On peut arriver à ce résultat d'une autre manière, en supposant le polygone solidifié de telle sorte que les droites qui joignent les points consécutifs ne puissent pas changer de longueur. Il en résulte d'abord que toutes les forces transportées parallèlement à elles-mêmes en un point doivent s'y faire équilibre. Ensuite l'équilibre ne devant pas être troublé, si, en supprimant la parlie DEC, on applique au point D, suivant le prolongement CD, une force égale à la tension Y de ce cordon, il faut que la force Y et toutes celles qui agissent sur la partie conservée ABCD, se détruisent. La tension du cordon CD est donc égale à la résultante des forces H, P, P', comme on l'a vu par l'autre méthode.

393. En supposant connue la figure du polygone en équilibre, on peut déterminer le rapport de deux forces ou de deux tensions quelconques. En effet, comme chaque sommet doit être séparément en équilibre sous l'action des forces et des tensions qui y sont appliquées^ on a

sinPBC

sinABC

sinABC'

feinABP

sinP'CD

sinBGD

sinBCD '

sinBCP'

et ainsi de suite.

Sturm. — Méc,

34 cou us DE MÉCANIQUE.

Si l'on veut avoir le rapport de deux forces ou tensions quelconcjues, on multipliera un cerlain nombre de ces proportions terme à terme.

394. Lorsque l'on connaît la grandeur et la direction des forces, les condilious d'éc[uilibre peuvent s'exprimer analytiquement par trois équations. Appelons rt, h, c-, e,/, g'i a, P, 75 a', ,6', y',. . . , les angles que font avec trois axes rectangulaires les directions des forces données H, K, P, P',. . . , on aura

/ II COSrt -f- K COS^ -^ P COSa -\- P' COSa' -i- ...:=: o,

( I ) ^ H cos /î» -i- K cos/ -r- p ces p -V P' cos p' + ■ '■ . = o, ( H cos c 4- K cosg' H- P C0S7 -T- P' C0S7' -~ . . . -— 0.

393. Réciproquement, si ces conditions sont remplies, c'est-à-dire si les forces sont telles , que, transportées parallèlement à elles-mêmes en un point quelconque^ elles s^j- fassent équilibre, il j aura toujours une figure (Véquilibre : en d'autres termes, on pourra toujours assigner au polygone dont les côtés sont donnés, une figure telle , r[u'il demeure en équilibre sous l'action de ces forces.

En effet, plaçons le premier côté AB du polygone dans la direction de la première force H. Dirigeons ensuite le second côté BC dans le prolongement de la résultante X des deux forces FI et P. Plaçons de même le côté suivant CD dans le prolongement de la résultante des forces X et P', ou, ce qui revient au même, des forces H, P, P' transportées parallèlement à elles-mêmes an point C, et ainsi de suite. 11 est évident, d'après cette construction, que les sommets B, C, D resteront en équilibre sous l'action des forces H, P, P', P''^ il en sera de même du dernier sommet E. En effet, il résulte de's équations (i) que le cordon EF a la direction de la force K et que celle-ci est égale et directement opposée à la résultante de toutes les forces H, P, P', P", P'".

396. Supposons fixées les extrémités A et F du polygone funiculaire,. dont la forme est donnée. On peut supprimer les forces H et K, sans détruire l'équilibre. Or, en supposant connues les forces P, P', P'', . . . , on peut se proposer de déterminer les pressions que supportent les points fixes A et F, pressions égales et contraires aux forces H et K.

Puisqu'on suppose connue la figure du polygone, on connaît les directions [a, h, c) ; (e, f^ g) de ces pressions. Leurs intensités s'obtiennent au moyen des deux proportions

H sinPBG K ^ sinDEP'" p"" sinABC' W'^ sinDEF '

397. Si la figure du polygone n'est pas donnée, on aura, pour détermine" les huit inconnues H, K, a, b, c, e,f, £•, d'abord les cinq équations

H cosa -i- K COS6' -r- P cosa -j-. . r= o, H cosô -r K. cosy-i P cosp H- . . . = o, H cosc -r K. cos^ -i- P COS7 -f- . . . = oj

cosV -h cos'é -+- cos^c =z r,

cos' e -J- cos^y + cos^g = i .

On obtiendra trois autres équations en exprimant que la différence des coordonnées de même nom des extrémités A et F du polygone est égale à la projection du polygone sur l'axe correspondant.

CAS ou IL Y A DES ANNEAUX

398. S'il y a au sommet B un anneau tiré par la force P^ et dans lequel passe le seul cordon ABC, on aura (386) H = X et la direction prolongée de la force P partagera l'angle ABC en deux parties égales. La même chose peut se dire de tous les anneaux, en sorte que si tous les sommets portent des anneaux, les tensions de tous les cordons