PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DU MOUVEMENT. — MOUVEMENT DU CENTRE DE GRAVITÉ

597. Remarques sur les systèmes de points qui peuvent se MOUVOIR COMME DES CORPS SOLIDES. — Considérons un système de points matériels m , m\ m", . . ., sollicités respectivement par des forces P, P', P", . . . , dont les composantes parallèles aux axes sont

X, Y, Z; X', Y', Z'; Si les liaisons sont telles, que les points

puissent se déplacer sans que leurs distances changent, on aura

^ cU'^ ~ ^ ^ ' ^ cW- ~^ ' AiÀ ' dt- ~ ^

598, S99. Pour que le système puisse se déplacer comme un corps solide, c'est-à-dire sans que les distances de ses points varient, il faut et il suËBt que chaque équation de condition se réduise à une relation entre les distances de ses différents points.

600, 601. Mouvement pu cExNtre de gravité. — Le centre de gravité de tout système libre se meut comme si les masses de tous les points matériels y étaient réunies et cjue les forces motrices y fussent transportées parallèlement à elles-mêmes.

602. Vitesse initiale du centre de gravité d'un système mis EN mouvement par DES FORCES INSTANTANÉES. — Cette vitesse est celle que prendrait un point ayant la masse M , placé au centre de gravité et qui serait sollicité par toutes les forces instantanées du système transportées parallèlement à elles-mêmes en ce point.

603, 604. Conservation du mouvement du centre de gravité. — Quand to;:tes les forces motrices transportées parallèlement à elles-mêmes en u?. point quelconque s'y font équilibre, le mouvement du centre de gravité est rectiligne et uniforme.

605. Si l'on considère les quantités de mouvement de toutes les molécules comme des forces et qu'on les transporte parallèlement à elles-mêmes en un même point, elles donnent une résultante de grandeur et de direction constante. Le centre de gravité se meut suivant une ligne droite parallèle à cette résultante et avec une vitesse égale à celte résultante divisée par la masse totale du système.

propriétés générales du mouvement relatives aux aires.

606. Relations entre les quantités de mouvement d'un système. — Dans un ensemble de points matériels qui peuvent se déplacer comme un système solide, on a

Ces équations subsistent s'il y a dans le système un point fixe, pourvu qu'il soit pris pour origine des coordonnées.

607. Lorsqu'en supposant le système solidifié, les forces qui le sollicitent se font équilibre,, ou bien encore lorsqu'elles se réduisent à une force unique passant par l'origine des coordonnées, la somme des moments de-s quantités de mouvement des masses du système par rapport à une ligne droite quelconque est constante.

608. Si l'on considère comme des forces les quantités de mouvement qui animent les différents points du système, qu'on les compose comme si elles étaient appliquées à un corps solide, on trouvera toujours la même résultante et le même couple résultant par rapport à une même origine. Le moment de ce couple résultant est /- = y/c^ 4- c'* + c", et son plan, perpendiculaire à la droite qui fait

c c c avec les axes des angles ayant pour cosinus -ri ji j-, a pour

équation

c, c\ c" étant les sommes des quantités de mouvement par rapport aux axes des 2, j, x.

609. Principe des aires. — Quand les forces motrices opplicjnées à un système se font éqnUibi'e en supposant le système solidifié, ou bien rjucmcl toutes ces forces ont une résultante unique passant par forigine des coordonnées , la somme des aires décrites par les projections du rayon vecteur sur chacun des plans coordonnés multipliées respectivement par les masses des points correspondants est proportionnelle au temps. C'est ce qu'on appelle le principe de la conservation des aires.

Stlrm. — /l/ec. II. 29

45o TABLE ANALYTIQUE

610, Cette loi a lieu en particulier quand les forces motrices du système se réduisent à des actions mutuelles entre ses différents points ou à des forces constamment dirigées vers un même point fixe, pourvu qu'on prenne celui-ci pour l'origine des coordonnées.

611, 612. Du PRINCIPE DES AIRES DANS LE MOUVEMENT RELATIF.

— Prenons pour origine un point mobile avec le système 0,. Désignons par a?|, jp z, ses coordonnées par rapport à un système fixe 0.r, Oj, Oz. Soit m un point ayant pour coordonnées ^, j, z dans l'ancien système et Ç, ïj, Ç dans le nouveau composé de trois axes Oi^:,, 0,j,, 0, z, parallèles aux anciens et mobiles avec le point Op On aura

dt- '' dt-

'^'- ?S^) = >:(x?-zn

si 0, est le centre de gravité, ou si l'on prend pour origine mobile un point qui ait dans l'espace un mouvement rectiligne et uniforme, enfin si la force accélératrice du point 0, est constamment dirigée vers le centre de gravité du système.

613. Si l'origine des coordonnées mobiles est choisie de l'une de ces trois manières, on aura, par rapport aux axes dont l'origine est mobile, des propriétés semblables à celles qu'on a trouvées pour des axes fixes.

614. Plan du maximum des aires. — Dans un système de points en mouvement pour lequel le principe des aires a lieu, en prenant pour origine un point fixe ou mobile suivant les conditions établies précédemment, il existe un plan fixe tel, que la somme des aires décrites pendant un temps quelconque par les projections des rayons vecteurs des points mobiles sur ce plan, multipliées par leurs masses, est plus grande que pour tout autre plan de projection. Ce plan est toujours le même , quel que soit le temps écoulé. On l'appelle plan du maximum des aires ou plan invariable. Son équation est

c" X -T- c' y + cz = o

et la somme\^»2w relative à un autre plan de projection se déduit

de celle qui se rapporte au plan tt, en la multipliant par le cosinus de l'angle des deux plans.

DES MATIÈIIES. 4^1

Ce plan est le mênre que celui du couple résultant des quantités de mouvement du système solidifié (602).

DES FORCES VIVES DANS LE MOUVEMENT d'uN SYSTÈME.

615 à 617. Principe des forces vives. — Dans tout système dont les liaisons sont indépendantes du temps, F accroissement de la somme des forces vives de tous les points , pendant un temps cjuelconcjue, est é^cd au double de la somme des travaux de toutes les forces pendant le même temps.

618. Conséquences du principe des forck^ vives. — Dans un système^ assujetti à des conditions quelconques, mais c[ui ne dépendent pas explicitement du temps , s'il n'y a pas de forces motrices ou si les forces motrices se font continuellement équilibre^ la somme des forces vives reste constante.

Ce principe est connu sous le nom de principe de la conservation des foixes vives.

619. Si la fonction >(Xf/j: + Yr/j- -h Zffe) est la différentielle

exacte d'une fonction/ des variables x, jr, z, x',. . ., considérées comme indépendantes ou comme liées entre elles par les équations L = o, SI = o,..., lorscfie le système passe d'une position à une autre, V accroissement de la somme de's forces vives ne dépend cpie des coordonnées des points dans ces deux positions.

620. Si les points mobiles occupent la même position à deux époques différentes t et ?„, la somme des forces vives aura la mêjne valeur à ces deux époques, pourvu que, les coordonnées des points reprenant les mêmes valeurs, la fonction f[x, j, z, x\...) reprenne aussi la même valeur.

621. L'expression'x (Xf/j: + Yf/r+ Z<r/s) est une différentielle

exacte quand les forces motrices sont constamment dirigées vers des centres fixes , et qu'elles sont fonctions des distances de leurs points d'application aux centres. Cela arrive aussi quand les forces proviennent d'attractions ou de répulsions mutuelles entre les points du système, actions dont les intensités sont fonctions des distances des points entre lesquels elles s'exercent.

622. L'expression^ (Xf/^ + Yr(}- + Zffc) n'est pas une différentielle exacte dans le cas où les points du système éprouvent des frottements ou la résistance d'un milieu.

623. Des forces vives dans un système a liaisons complètes, — Quand un système de n points est à liaisons complètes, l'équation des forces vives suffit pour déterminer le mouvement de chaque point. Exemples : pendule composé, mouvement d'un corps solide autour d'un axe.

625. Des forces vives dans le mouvement relatif. — Bans un système quelconque, lors même qu'il ne serait pas entièrement libre dans V espace, la somme des forces vives des points dans leur mouvement absolu est égale, à chaque instant , à la même somme ronsidérée dans le mouvement relatif autour du centre de gravité , augmentée du produit de la masse totale du système multipliée par le carré de la vitesse du centre de gravité.

626. Dans le mouvement relatif d'un système absolument libre, autour de son centre de gravité, la différentielle de la somme des forces vives des points du système est égale au double de la somme des quantités de travail apparent des forces motrices.