Lieu des axes du couple résultant. — On a
équation du cône décrit dans le corps par l'axe fixe OG.
674. Les axes principaux relatifs au point 0 sont les seuls qui puissent rester immobiles avec un mouvement de rotation uniforme.
675 à 678. Mouvement d'un corps solide entièrement libre. — Le mouvement d'un corps solide libre, sollicité par des forces données, sera connu quand on pourra déterminer le mouvement absolu d'un de ses points et le mouvement relatif de tout autre point du corps autour de celui-là. On pourra choisir à volonté le
point dont on considère le mouvement de translation. Mais , dans l'application, il est avantageux de prendre le centre de gravité.
Sous r action des forces motrices le moiwement de rotation autour du centre de gravité est le même que si ce point était fixe.
679, 680. Mouvement d'un ellipsoïde.
Fig. 176.
MOUVEMENT d'uNE CORDE VIBRANTE.
681. Équations du mouvement. — Soit s le produit de la section
normale de la corde par sa densité au point M, dans la position AMB, p le poids de la corde, l sa longueur primitive AB, T la tension au point M , t^ le poids tenseur : si l'on néglige les forces motrices, on a
V^clix + u^^p^çPu L ds J gl dt- '
ds
-]L£L dx ~ al dt' '
ds) ~ gl dt' ""•
X est l'abscisse primitive, z + « l'abscisse pendant ce mouvement.
682 à 685. Cas des petites vibrations. — q étant un coefficient constant pour la même corde, on a
T— CT = q -T-î '■ dx
et, en posant —
d'u , d-U dt' ~ ^' cLvd'y^^d'y dt ^ dx' d'z .d'z dt-" "'' dx'
46o TABLE ANALYTIQUE
Les mouvements des points de la corde parallèlement aux axes seront indépendants et coexisteront sans s'influencer mutuellement.
G86 à 688. Vibrations transversales. — L'équation
cPr
dx''
pour
intégrale
générale
at) +
■]^{^x — at).
Soit
pour t =
CÎY
' Tu
Posant, pour abréger,
on a
La fonction œ ['C) est périodique et a pour période il. Comme on connaît cette fonction pour toutes les valeurs de la variable comprises entre zéro et 2/, elle sera connue pour toutes les valeurs de Ç positives ou négatives.
689, 690. L'autre fonction li est périodique, comme la première,
et sa période est aussi il.
La corde fait une suite de vibrations toutes égales et isochrones
dont la durée est —
691. La résistance -de l'air et la communication d'une partie du mouvement de la corde à ses deux points extrêmes A et B diminuent graduellement l'amplitude des vibrations et finissent par les anéantir, sans toutefois altérer sensiblement leur isochronisme.
692, Si l'on désigne par T la durée d'une vibration de la corde et par n le nombre des vibrations dans l'unité de temps, on a
„ il I /^
a 1 y pi
Pour une même corde, le nombre /? est proportionne) à la racine carrée de la tension w ; pour des cordes d'une même matière et d'une même épaisseur, les nombres de vibrations sont en raison inverse des longueurs. Enfin pour des cordes de même longueur et également tendues, n est en raison inverse des racines carrées de leurs poids. L'expérience a confirmé ces lois.
693. Noeuds de vibration. — H y a des cas où la corde, en raison de son état initial, se partage, pour ainsi dire, spontanément en un certain nombre de parties égales vibrant à l'unisson et dont les points de séparation, appelés nœuds^ restent immobiles pendant la durée du mouvement. Alors le son s'élève proportionnellement au nombre de ces parties.
La corde ayant, sans vitesse initiale, la forme de la courbe
j = C sin — ^ ■> si on l'abandonne à elle-même, elle effectuera une suite indéfinie de vibrations isochrones.
694. Le nombre de vibrations effectuées dans l'unité de temps sera m —, c'est-à-dire m fois celui qui correspond au son le plus grave de la corde, déterminé par la théorie générale.
695. Dans ce cas la corde se partage spontanément en m parties égales qui vibrent comme si elles étaient séparées, de sorte qu'il y aura m — i nœuds de vibrations.
696. 697. Vibrations longitudinales. — Si l'on désigne par n' le nombre des vibrations longitudinales effectuées dans l'unité de temps, on a
, 1 ls;(i n /ct
De deux sons les plus graves rendus par une même corde, celui qui correspond aux vibrations longitudinales est de beaucoup le plus aigu.
ÉQUILIBRE d'une MASSE FLUIDE.
698. Notions préliminaires. — L'hydrostatique a pour objet les lois de l'équilibre des fluides. Un fluide doit être considéré comme un assemblage, en apparence continu, de molécules matérielles qui cèdent au moindre effort tendant à les séparer les unes des autres.
L'hypothèse d'une mobihté parfaite pourrait conduire à des résultats peu conformes à l'expérience dans le cas d'un fluide en mouvement : mais si l'on excepte quelques liquides où la viscosité est considérable, les lois de l'équilibre auxquelles nous parviendrons en Supposant les molécules parfaitement mobiles et sans aucune cohésion, s'appliqueront sans erreur sensible aux fluides naturels.
699. On distingue deux sortes de fluides, les liquides et les gaz ou fluides aériformes.
700. Pression d'un liquide sur une paroi. — La pression au point M est la limite du rapport de la pression exercée sur l'élément w qui comprend le point M à l'aire w, quand cette aire w tend vers zéro en comprenant toujours le point M.
701. Égalité de pression en tous sens. — On admet comme un résultat de l'expérience ou comme une conséquence de la distribution uniforme des molécules des fluides , que la direction de la pression est toujours perpendiculaire à l'élément de surface w sur lequel elle s'exerce.
Si , en un point quelconque de l'intérieur, on suppose une paroi plane solide, il y aura sur chaque élément de cette surface une pression toujours perpendiculaire à son plan. Il y a égalité de pression en tous sens pour un même point, c'est-à-dire que si l'on considère une surface infiniment petite w passant par un point M pris à volonté dans le fluide, la pression exercée par le fluide sur chaque face de l'élément w sera toujours la même, quelle que soit la position que l'on donne à l'élément w, en le faisant tourner autour du point M.
