Figure permanente d'un fluide autour d'un axe. — Un

fluide pesant, contenu dans un vase de forme quelconque, tourne d'un mouvement uniforme autour d'un axe vertical Oz. Soient w la vitesse angulaire et p la pression, en donnant kp des valeurs constantes, on aura différentes surfaces de niveau. Leur équation

op -xg

s représente un paraboloïde de révolution.

711. On déterminera la constante C en exprimant que le volume du liquide est donné. Supposons que le hquide soit contenu dans un vase cylindrique ayant pour base sur le plan .rOjle cercle dont le rayon est a, que h soit la hauteur de la partie du cylindre occupée par le liquide avant le mouvement, et que la surface libre supporte la pression atmosphérique constante représentée par c On aura

des matières. 465

712. Pressioîv d'un liquide sur le fond du vase qui le rsn- FERME. — Si ^ est l'aire de la base supposée horizontale et h la hauteur du liquide, la pression totale P que supporte cette base est

P =.gpbh.

713. Supposons qu'on ait deux liquides contenus dans le même vase et qu'ils ne se mélangent pas.

Leur surface de séparation sera nécessairement un plan horizontal. Soient b la base, h la hauteur, et p la densité de la première couche reposant sur le fond du vase ; b', h', p' les quantités analogues relatives à la seconde couche. La pression exercée sur le fond du vase sera g{p'h'-i-ph)b, c'est-à-dire égale au poids d'une colonne cylindrique, dont la base serait b, qui contiendrait une hauteur h du liquide inférieur et une hauteur h' du liquide supérieur.

Théorème analogue pour un nombre quelconque de liquides contenus dans un même vase et pour un liquide dont la densité varierait d'une manière continue avec la hauteur.

714. Vases communiquants. — Les hauteurs auxquelles deux liquides s'élèvent dans deux vases communiquants sont en raison inverse de leurs densités.

Si l'on ajoutait un nombre quelconque de liquides dans les deux vases, il faudrait que la somme des produits de leurs densités par les hauteurs de leurs tranches fût la même de part et d'autre.

715. Pression d'un liquide sur une paroi plane. — La pression totale est égale au poids d'un cylindre de liquide qui aurait une base égale à la surface de la paroi et une hauteur égale à la distance du centre de gravité de cette paroi au niveau supérieur du liquide.

Le point d'application de la résultante des pressions exercées sur la surface AB est appelé centre de pression.

716 à 718. Supposons que la paroi immergée ait la forme d'un Pio. ,83. trapèze dont les côtés parallèles AB,

^ CD soient horizontaux. Le centre de

pression est sur la droite GH qui joint les milieux de ces deux côtés. En nommant u^ la distance du centre de pression I à AB, /i la hauteur du trapèze, a l'angle que le plan du trapèze fait avec un plan horizontal, c la distance de AB à Id surface du liquide, en posant AB = a, CD = b, EF = c, MN = «, on a

__ i/ic [a -\- 'i.b) + h^ [a -\~ 3ab) sinx ' 6c [a -j- b)-\-2/i[a + ib) sïnx Stl'rm. — :Uéc. If. 3o

Quand le trapèze est horizontal, le centre de pression coïncide avec le centre de gravité,

719 à 723. Principe d'Archimède. — Quand un corps pesant est plongé clans un liquide, les pressions exercées sur sa surface ont une résultante unique, égale au poids du licpdde déplacé et appliquée au centre de gravité de cette partie du fluide, supposée solidifiée.

Le principe d'Archimède subsiste quand le corps n'est plongé qu'en partie dans le fluide, ou quand la densité p n'est pas la même à toutes les profondeurs.

721, Quand on pèse un corps dans un fluide, si P est le poids du corps et P' celui d'un égal volume de liquide, D et p les densités vraie et apparente, on a

725. Le principe d'Archimède subsiste dans le cas oii l'on considère un fluide contenu dans un vase. Si l'on fait une ouverture à l'une des parois latérales, le vase sera mis en mouvement en sens contraire de l'écoulement du liquide. C'est là le principe des différentes machines dites à réaction.