MESURE DES HAUTEURS PAR LE BAROMÈTRE
Fig. i86.
726 à 728. Équilibre des corps flottants.— Une section ABC perpendiculaire aux arêtes étant faite dans le prisme, DE étant le niveau du liquide, soient
CUE ABC ~ ""'
/• étant le rapport de la densité du prisme à celle du liquide,
CA = a, CB -- 6, AB ^- c, Q^li^-h, QX)^x, CE^^r,
on a
xy = rab.
Si l'on, nomme a et ê les angles ACK et BCK, on a .r-— 2,//ar cosa = j^— a/zjcosê, .r" — 2/iC0Sa..r'+ 2 r/iab cosè.x — r^a^b^= o.
Il y a au plus trois positions d'équilibre pour lesquelles le sommet seul est plongé dans le liquide.
Le problème précédent revient à mener par un point donné K une normale à une hyperbole ayant pour asymptotes CA et CB.
729. Le cas où deux sommets A et B du triangle sont immergés, se ramène au cas où un seul plonge dans le liquide.
730. Stabilité d'un corps flottant. — Un corps solide étant plongé dans un liquide, soit G le centre de gravité de ce corps, et H celui de la partie immergée. Supposons que l'on écarte un peu le corps de sa position d'équilibre et que tous ses points reçoivent de petites vitesses. Soit A'B'C'D' la section faite dans le corps par le nouveau plan de flottaison, le premier étant venu en ABCD.
Par le centre de gi^avité ï de la section ABCD menons un plan AB"CD", parallèle au plan horizontal A'B'C'D' et qui coupe ABCD suivant la droite AIC. Posons ô égal à l'angle des deux plans ABCD, AB"CD", 'ç égal à la distance du point I au plan A'B'C'D', p égal à la densité du fluide, u égal à la vitesse de la molécule dm, V égal au volume de la partie immergée quand le corps est en équilibre; GH = a; e égal à un infiniment petit du troisième ordre au moins. On a
2\ii^ dm =^ c — g'pà'Ç' — g-p (p, zp V«) 0"-r- s.
La constante c peut être supposée aussi petite qu'on voudra.
731. Si le centre de gravité G du corps est au-dessous de celui du fluide déplacé H, l'équilibre est toujours stable.
732. Quand le point G est au-dessus du point H, si p. ou le moment d'inertie de l'aire ABCD par rapport à la droite AIC reste plus grand que Y a à toute époque, l'équilibre sera stable. II faut et il suffit que Va soit moindre que le plus petit moment d'inertie de la section ABCD, par rapport à toutes les droites qu'on peut y mener par le point I. Si p. devenait moindre que Va, on ne peut rien affirmer relativement à la stabilité de l'équilibre.
733. Du métacentre. — Soit S un corps solide flottant. Lorsqu'il est en équilibre, son centre de gravité G et celui H du volume du liquide déplacé sont sur une même perpendiculaire au plan de flot-
taison ABCD. Supposons que ce corps soit symétrique par rapport à un plan vertical BLD, lequel contient alors la droite KGH. Imaginons qu'on dérange un peu ce solide de sa position d'équilibre, tout en maintenant vertical le plan BDG.
Ce plan contiendra toujours le centre de gravité de la masse fluide déplacée. Le centre de gravité du fluide déi)lacé A'B'C'D'L est un certain point H'. Le point M où la verticale H'M rencontre la droite KGH est ce qu'on appelle le métacentre.
Si le métacentre reste toujours au-dessus du point G, sur la droite HGK, l'équilibre est stable.
Si, au contraire, le métacentre est constamment au-dessous du centre de gravité, l'équilibre du corps sera instable.
Enfin, si le métacentre peut être, tantôt au-dessus, tantôt audessous du centre de gravité, la considération seule du métacentre ne fait plus rien connaître relativement à la stabilité de l'équilibre du corps flottant.
734. De la mesure des hauteurs par le baromètre. — Soient xs la force élastique de l'air, et D sa densité à la température zéro; p la pression, p la densité de l'air à la température 9; en désignant par a le coefficient de dilatation o,oo366 pour chaque degré d'accroissement de la température, et faisant — = A-, on aura
aQ1
La densité de l'air mélangé de vapeur, quand la température s'élève, la pression rs restant la même, doit diminuer un peu plus que ne l'indiquerait la formule précédente. Pour avoir égard à cette circonstance, on augmente le coefficient a, et l'on prend a = 0,004.
735. En désignant par z la hauteur d'un point quelconque de l'atmosphère au-dessus de la surface terrestre, M = o,434'-i946 :
on a
log - = ,
736. Soit h la hauteur de la colonne barométrique pour la station dont la hauteur verticale est z, et soit T la température du mercure, qui peut être différente de celle de l'air ambiant. Soient
DES MA.TIÈTIES. 4^9
h^ et T„ la hciuteur et la température du mercure à la station inférieure, r le rayon terrestre, on a
p-\''^rj H en posant, pour abréger,
Hast dite la hauteur corrigée; c'est celle qu'aurait la colonne barométrique si la température du mercure à la station supérieure était la même qu'à la station inférieure.
737, 738. Si l'on désigne par 1 la latitude de la station, et par G la pesanteur à Paris, dont la latitude est de 48''5o'i4", on a
G= 9,8o8r)6 et
fl(i+o,oo4S) 1 — o,ooa588 cosa).
en posant
On calcule le nombre a par l'équation même où l'on substitue à la place de z une ou plusieurs hauteurs mesurées par les procédés trigonométriques. On a trouvé ainsi
Lorsque z n'est pas très-grande, on néglige entièrement - dans
la formule; mais alors il faut augmenter le nombres. M. Ramond a conclu d'un grand nombre d'observations faites dans le midi de la France, a = iSSgS, et il a adopté pour les latitudes peu différentes de 45° la formule très-simple
2= 1839J (1 + 0,0049) log-jj-
