ÉQUILIBRE D'UN FIL FLEXIBLE

Direction de la tension dans un fil en équilibre. — Équations de Téquilibre d'un fil sollicité par de petites forces. — Intégration de ces équations. Valeur de la tension en chaque point du fil. — Forme aff"ectée

par le Cl.

diuection de la tension dans un fil en équilibre.

403. Soit AMB un fil flexible, d'une très-pelite épaisseur, attaché par ses extrémités à deux points fixes A et B,

et dont tous les points sont sollicités par de très-petites forces.

Soit M uu point quelconque v^ de ce fil. Les deux parties AM, MB exercent l'une sur l'autre, dans l'état d'équilibre, des ^actions moléculaires égales et contraires. On ne connaît pas la nature de ces actions, mais on admet que toutes celles qui proviennent de AM agissant sur MB, se réduisent à une force unique T appliquée au point M, et de même que la partie MB exerce sur AM une action qui se réduit à une force égale et contraire à T. La valeur commune de ces deux forces est ce qu'on appelle la tension du jil au point M. On pourra donc, si l'équilibre existe, supprimer la partie AM, pourvu qu'on applique au point M une force égale à T.

404. En considérant le fil comme la limite d'un polygone funiculaire dont les côtés deviennent infiniment petits, on est conduit à admettre que la tension s'exerce suivant la tangente au point M. à la courbe que forme

le fil. Mais on peut démontrer direcleraeiit ce principe de la manière suivante :

Fixons un point M', voisin de M, sur le fil et solidifions la" partie intermédiaire MM': l'équilibre ne sera pas troublé. Mais alors, d'après les conditions d'équilibre d'un système dans lequel se trouve un point fixe, les couples qui résultent de la translation au point M' de la force T et des forces qui agissent sur tous les points matériels du fil compris entre M et M', doivent se détruire. Comme ces forces ne sont pas nécessairement dans un même plan, le moment du couj)le (T, — T) est moindre que la somme des moments des couples provenant de la translation des autres forces ou au plus égal à celte somme.

Si Ton abaisse la perpendiculaire M'H sur la direction de la force T, et si Ion désigne par & l'angle M'MH, le moment du couple (T, — T) est

T.M'H:-^T.MM'sin9.

Soient p la masse d'un point compris entre M et M' et P la force appliquée à ce point, rapportée à l'unité de masse; }xV sera la force motrice appliquée à ce point. Le moment du couple (jy.P, — ^.V) est plus petit que p.P.p.M' et h fortiori que p.P.MM'.

La somme des moments de tous les couples analogues est donc moindre que MM'.PjSf/, Pj désignant la plus grande valeur de la force P dans toute la portion ]MM' du fil et Sa la somme des masses des molécules qui composent cette portion du fil.

On a donc

T. MM' sine <P,.MM'Sa,

d'où

sinô <^ ^ I{z.

La tension T a une valeur finie, car elle doit faire

4o COURS DE MÉCANIQUE

équilibre aux forces qui sollicitent la partie BM. Comme l'inégalité précédente a lieu quelque petit que soit l'arc MM', on voit que si le point M' se rapproche indéfiniment du point M, sin0 et par conséquent B deviendra plus petit que toute quantité donnée. Mais à la limite la corde MM' devient la tangente en M à la courbe; donc c'est suivant la tangente qu'agit la tension T.