ÉQUILIBRE D UIV FIL SOLLICITÉ PAR DE PETITES FORCES

40o. Cherchons maintenant les conditions d'équilibre d'un fil AMB, fixé à ses deux exliémités A («, h, c) et B {«', h' , c') et dont tous les points sont sollicités par de pel'io. iSy. tites forces. Soient M (.r, r, z)

et ^l' [x-^dx^j-[-ciy^z-T-dz) deux points infiniment rapprochés sur le fil. Soit MM' = ds. Si T et T' sont les tensions du fil aux points M et M', l'arc MM' doit être en équilibre sous l'action de T, de T' et des forces qui sollicitent les points compris entre M et M'. Cet équilibre a encore lieu, si Ton suppose l'arc MM' solidifié. Donc les forces doivent être telles, qu'en les transportant parallèlement à elles-mêmes en un point elles se fassent équilibre.

4-06. Soient e le produit de la section normale par la densité au point M, P la force qui agit en ce point, et X, Y, Z ses composantes parallèles à trois axes Ox, Oy, O z. L'arc MM' étant infiniment petit, on peut considérer e, X, Y, Z comme constants pour tous les points de MM'. Or T agissant dans le sens M' M, ses composantes seront

dx

dy

dz ds

TRENTE ET UKIÈME LEÇOW. 4^

Les composantes de T' seronl égales à celles de T, prises en sens contraire et augmentées de leurs différentielles,

dx , /^ dx\ ^ dv j /^ dy\ ^ dz , /^ dz\

T^+r/T— , T--+r/T--, T — +r/IT ds \ ds j ' ds \ ds j ds \ ils j

D'ailleurs en considérant JMM' comme un petit cylindre,

Xî^i', Ytds, Xids,

sont les sommes des composantes des forces qui agissent sur les points de l'arc MM'. On a donc

/ / d.r\ dil — J -+ y,zds — 0,

(I) j./(ïg)H-Y.^. = o

I dii: ~\ -\- ZzdszrzzO.

Dans la question qui nous occupe il n'y a qu'une seule variable indépendante; supposons que ce soit x. Les équations (i) serviront à déterminer j', z, et l'inconnue auxiliaire T en fonction de x. Ces équations sont nécessaires et suffisantes, et nous allons vérifier, après leur intégration, que si elles ont lieu, toutes les forces qui agissent sur le fil, en y comprenant les tensions K et K', aux extrémités A et B de ce fil, satisferont aux six équations générales de l'équilibre.

IMTÉGUATION DES ÉQUATIOKS (l).

407. Intégrons d'abord la première des équations (i) par rapport à 5, entre les limites qui correspondent aux extrémités du fil, dont la longueur est /, on aura

Soient e, y, g 5 e', /', ^' les angles que les tangentes à

42 COUnS DE MÉCANIQUE.

la courbe aux points A etB font avec les axes, et K, I^les forces qui proviennent de la fixité des points A, B, forces égales et directement opposées aux tensions des éléments extrêmes du fil. Cette équation devient

(3) Kcose -f- K'cosc' H- j 'Xzds:=o;

elle signifie que la somme algébrique des composantes parallèles à l'axe Oo:, de toutes les forces qui agissent sur le /il, est nulle. En intégrant les deux autres équations du système (i), on arriverait à la même conclusion, par rapport aux deux autres axes. Ainsi les trois premières équations de l'équilibre (365) sont satisfaites.

408. On peut aussi retrouver les équations des moments. Multiplions les deux premières équations (i) par }' et x, et retranchons la première de la seconde. Il en résulte

Oi

xd ( T y- ) — yd (t — ]-\-[Yx — ^y']Bds

-i^D-.'-fTii^i-^-Tî-^-^:

par conséquent, en intégrant entre o et /, on aura K («cos/ — bcose) -I- K'' {a'cos,/' — b'cosc')

(Y.T ~ Xj) eds = o

Cette équation signifie que la somme des moments de toutes les forces qui agissent sur le fd, par rapport à Vaxe Oiî, est nulle. On obtiendrait de même les équations des moments par rapport aux deux autres axes.

La même chose peut se dire d'une partie quelconque du fil. pourvu qu'on joigne aux forces qui sollicitent tous ses points, deux forces appliquées îangentiellement à ses extrémités et équivalentes aux tensions que celte partie éprouverait de la part du reste du fil.

409. La premier^ des équations (i) peut être mise sous la forme

ds ds

Soient a, |3, }■ les angles que la tangente au point M faii avec les axes et X, f/, v les angles que le rayon de courbure p fait avec les mêmes axes : on a

dx dx dscosl

■— = cosa, «-7-= 5

ds ds p

les équations (i) peuvent donc s'écrire comme il suit :

Tds <3?Tcosa H cos^ -f- "Ksds = o,

Tdf

(4) / rfTcosB ■-{ cosp -i- Ysds — o,

aTcosY -1 cosv + Zsds -rr o.

Sous cette forme elles expriment qu'il y a équilibre entre la force dT dirigée suivant la tangente, la force

dirigée suivant le rayoïi de courbure et la force

motrice Peds de l'éiément de masse. D'où l'on conclut que le plan osculaleur à la courbe est déterminé par la tangente et par la direction de la force P.