COURBE FORMÉE PAR LE FIL

414. Pour avoir la courbe formée par le fil, il faut éliminer T entre les équations (i). On peut à cet effet commencer par intégrer ces équations, ce qui donne

ids,

— T ^ ds

ids,

ds,

où

l'on

déduit

dy

dz

AH- Xsds B+ Ysds C+ Zzds

415. Mais si l'on veut arriver à des équations purement différentielles, on commencera par éliminer dT entre les équations (i) mises sous celte forme :

dx dx

Td— -i-dT -~ -i-Xsds=:^o, ds ds

dr dy

Td~ -h dT ^ -i- Yeds=o, ds ds

^ , dz dz

Td -- ~h dT — -i- Zs ds = o:

ds ds

on obtient ainsi

d'où

Xr/j — Y d.r __^ / cjx ^^(^ clY^^(lf\

cls \ds ds ds ds )

l^dz — Z d.x / dz du: dx dz

ds V ds ds ds ds

dr dx

dx d~ — dj d -—

X dr — Y dx d^ ■^ ds

l^dz — Zdx ^ ^ dx , jdz'

dz d , dxd — -

. ds dx

On a d'ailleurs

(c) d1 = — £ (Xr/j: 4- Y^/j + Z dz).

On substituera dans cette équation la valeur de T tirée d'une des équations («), et l'on aura une équation contenant les différentielles dej^ considérée comme fonction de X jusqu'au troisième ordre et celles de z jusqu'au deuxième. L'équation [h) ne les contient qu'au deuxième seulement. L'intégration de ces éqviations introduira donc cinq constantes arbitraires, que l'on déterminera en exprimant que la courbe passe par deux points donnés et qu'elle a une longueur donnée.