une position fixe et reste
rait en repos quelles que fussent les forces appliquées au système 5 mais il peut être égal hdji — /. Dans ce cas. où le système est dit à liaisons complètes, tous les points sont assujettis à demeurer sur des courbes données AL, A'L', . . ., et le déplacement de l'un des points entraine celui de tous les autres. En effet, en éliminant oç' ^ j\ z\ x", y" ^ z" ^ etc.^ on tirera des équations données les valeurs de y et de z en fonction de x, savoir :
et ces équations représenteront une coui'be AL, sur laquelle le point A {x,y^ z) sera obligé de demeurer. On
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verra de la même manière que les autres points ne peuvent se mouvoir que sur des courbes déterminées. En outre, toutes les variables moins une, x, pouvant s'exprimer en fonction de celle-ci, quand on connaîtra la position de Tun des points, A par exemple, celles de tous les autres seront déterminées : les déplacements infiniment petits qu'on peut faire subir aux points du système ont donc avec l'un d'eux des relations qui résultent des 3/2 — i équations données.
449. Cbaf|ue point peut se mouvoir sur la courbe dans deux sens contraires, ce qui donne lieu à deux moments virtuels égaux et de signes contraires. C'est d'ailleurs ce qu'on peut voir par le calcul. Soit
une des 3/2 — i équations de condition. On peut la différentier en y regardant une seule des variables comme indépendante, ce qui donne
-^ Sx -h ~ §J -+- -^ Sz -^r ~ Sx' H- . . . = o. dx dy dz «?
On aurait en tout "an — i équations semblables. Or si elles sont satisfaites par de certaines valeurs de ^x, ây, 3z, ^x\ . . . , elles le sont évidemment aussi par les mêmes valeurs prises avec des signes contraires, d'où résulte pour cbaque point deux déplacements égaux et dirigés en sens contraires.
450. Supposons qu'on applique aux points A, A', A", . . . , des forces P, P', P'', . . . , telles, cju'il y ait écj^uilibre. Nous pouvons ne considérer qu'une seule force eu cbaque point, puisque, s\\ y en avait plusieurs, la somme de leurs moments virtuels serait égale au moment virtuel de leur résultante. Prenons sur une surface quelconque un point B qui soit lié avec les points A et A' par deux droites rigides AB, A'B, mobiles autour du point
yo COURS DE MÉCANIQUE.
B. Appliquons en A et B, suivant AB, deux forces Q, — Q égales et contraires, puis en A' et B, suivant A'B, deux forces Q'. — Q' égales et contraires. L'état du système ne sera pas changé.
Quand le point B se déplace infiniment peu, il est obligé de se mouvoir sur une courbe déterminée, car il doit être sur uue surface donnée et rester à des distances également dorfnées des points A et A'. Cela posé, appelons toujours /?, /?', p'\. . . , les projections positives ou négatives des vitesses virtuelles des points d'application, A, A', A", etc. Désignons par Q^q le moment virtuel de la force Q appliquée au point A, et par Q^'g' celui de la force Q' appliquée au point A'. L'intensité de Q' étant arbitraire, on peut en disposer de manière que les forces P' et Q' appliquées au point A' tiennent ce point en équilibre sur la courbe A'L'. Il est nécessaire et suffisant, pour cela, que la somme de leurs moments virtuels soit nulle (446) ou que l'on ait
On peut alors supprimer P' et Q' appliquées en A'. On
peut aussi disposer de l'intensité de la force Q, de sorte
que les deux forces — Q5 "~~ Q' tiennent le point B en
équilibre sur la courbe où il est obligé de demeurer, ce
c[ui exige, puisque les moments virtuels de ces deux forces
sont, d'après le lemme précédent, -~ Qg et — Q'</', que
l'on ai t
Qy + Q'r/ = o;
de la et de l'équation précédente on déduit
Ainsi l'état du système ne sera pas changé si l'on suppiime la force P' appliquée au point A', pourvu que l'on applique au point A une force Q dont le moment virtuel soit égal à celui de la force P'.
On pourra de même supprimer les forces appliquées aux autres points A", A'", . . . , pourvu qu'on applique au point A des forces dont les moments soient égaux à P"p", V"'p"', ....
On n'aura donc plus que des forces appliquées au point A. Donc, pour que le système soit en équilibre, il faut et il suffit que ces forces se fassent équilibre et par conséquent que la somme de leurs moments soit nulle. On
aura donc
Pp -h F'p' + P"//' + . . . = G.
451. S'il n'y a pas équilibre, les forces appliquées au point A donneront une résultante R qui ne sera ni nulle ni Fig. 147. normale à la courbe A a et qui
par conséquent aura un moment virtuel Rr plus grand ou plus petit que zéro, selon qu'elle tendra à faire mouvoir le point A dans le sens A a ou dans le sens contraire, c'est-à-dire selon qu'elle fera avec A a un angle aigu ou un angle obtus.
Or
Rr=Pp-+- P'p' -h,. . .— iPp;
donc selon que la somme SPp sera positive ou négative, les forces tendent à mouvoir le système dans le sens Aa ou dans le sens contraire. Et si le mouvement A« est empêché, il faut et il suffît, pour qu'il y ait équilibre, que SPjt? soit nulle ou négative.
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