SYSTEME A LIAISONS INCOMPLETES

452. Nous allons maintenant étendre le principe des vitesses virtuelles à un système à liaisons incomplètes, ou dans lequel les coordonnées des points sont liées entre elles par un nombre i d'équations, i étant <^ on — i.

Je dis d'abord que s'il y a équilibre, la somme des moments virtuels est nulle. Considérons en effet l'un quelconque des déplacements compatibles avec les liaisons du système. On peut établir de nouvelles liaisons au nombre de 3n — i — i, (elles, que le déplacement virtuel en question devienne le seul possible. Mais alors les forces qui agissent sur tous ces points dont le système est devenu à liaisons complètes, se faisant encore équilibre, la somme de leurs moments virtuels doit être égale à zéro. Cette somme est donc nulle pour lout mouvement virtuel compatible avec les conditions du système.

453. Réciproquement, quand la somme des moments virtuels est nulle, l'équilibre existe. En effet, si les forces appliquées au système pouvaient le mettre en mouvement, tous les points éprouveraient simultanément des déplacements très-petits pendant un temps très-court. On pourrait, sans changer ce mouvement, établir de nouvelles conditions qui rendraient le système à liaisons

complètes, et qui empêclieraient tout le mouvement virtuel différent de celui qu'on suppose avoir lieu. On aurait donc un système à liaisons complètes, dans lequel la somme des moments virtuels serait nulle et qui ne serait pas en équilibre.

Le théorème des vitesses virtuelles se trouve donc étendu à un système quelconque.

LIAISONS QUI s'expriment PAR DES INÉGALITÉS.

454. Quand les liaisons qui existent entre les différents points d'un système sont exprimées par des équations, chacun d'eux peut éprouver deux déplacements égaux et de sens contraires. Mais dans certains systèmes il n'en est pas ainsi.

Par exemple, concevons un point A placé sur une surface fixe S, dans l'intérieur de laquelle il lui est impossipjg j/j8. ble de pénétrer, c'est-à-dire qu'il

peut se mouvoir d'un côté du plan tangent, mais non de l'autre. Il est clair que s'il se meut dans le plan tangent, il pourra toujours se déplacer dans deux sens opposés Aa et A«'; mais pour tout autre mouvement son déplacement sera possible dans un sens et impossible dans l'autre.

455. Les conditions de cette espèce sont ordinairement exprimées par des inégalités. Par exemple, si un point est posé sur nn plan fixe et ne peut se déplacer que d'un côté de ce plan, en prenant celui-ci pour plan des XY et prenant l'axe des z dans le sens de son mouvement possible, on aura pour ce point ^>o, et il faudra exprimer que la variation de z est nulle ou positive, c'est-àdire poser l'inégalité

Déplus on exprimera qu'un point ne peut pénétrer

74 COURS DE MÉCAMIQOE.

dans l'intérieur d'une sphère fixe dont le centre serait à l'origine des coordonnées, au moyen de la relation

R étant le rayon de la sphère, et si le point est actuellement posé sur la surface sphérique, on aura en le déplaçant

x§x -+- ySj ■+ zSz^o.

456. Si le système A, A', A".. . . , est assujetti à des conditions de ce genre, le principe des vitesses virtuelles subit une modiiication. Il suffit alors, pour l'équilibre, que !a somme des moments virtuels des forces soit nulle ou négative pour chaque mouvement virtuel de cette espèce. Si le système est à liaisons complètes, cela i^ésulte de ce que nous avons dit plus haut (4o.f ) dans le cas ou le mouvement du point A est empêché dans un certain sens. Si le système est à liaisons incomplètes, le théorème se démontre en introduisant un certain nombre de conditions telles, que le système devienne à liaisons complètes.

AUTRE FORME DE l'ÉQUATION DES VITESSES VIRTUELLES.