L'équation

(i) Pp-h V'p' + V"p" + . . . = o

peut se mettre sous une forme plus commode. Soient ^'S- ^9- X, Y, Z les composantes pa-

rallèles aux axes de la force P appliquée en A. Désignons par ^x, àj, §z les variations des coordonnées de ce point pour un déplacement virtuel Aa, compatible avec l'état du système, de sorte que les coordonnées du point a soient x -\- dx, y + àj^ z -\-^ z.

Le moment virtuel de la force P étant égal à la somme

des moments virtuels de ses composantes , on a -''---*'^'^'^

Pp = X§x-hY8j -h ZSz; on a de même

et ainsi de suite. En substituant ces valeurs dans l'équation (i), elle devient

(2) l(Xox-i-YSx+Z3z) = o. y

CONDITIONS d'équilibre d'uN SYSTEME.

458. Voici maintenant comment on déduit du principe général des vitesses virtuelles les conditions d'équilibre d'un système donné. Supposons que les liaisons qui existent entre les divers points du système soient exprimées par les équations

Ces équations devant être satisfaites parles nouvelles coordonnées des points, après un déplacement infiniment petit compatible avec l'état du système, on aura

r/L , dL ^ dh ^ dL ^ ,

— (ix -I — or -\ — Sz -f- —-7 à.x -;- . . . = o,

ax dy dz dx

f/M , dm. , dm ^ dm. ^ ,

. -— Sx -i- -— §r -^ —Sz -;- -— Sx' --. . . — o,

(2) / dx dy dz dx

dN ^ r^N ^ d^ ^ '^N , ,•

-— Sx-^ —- Sy'+- --- Sz-i -Sx' -^. . -0,

dx dy dz dx

Pour bien comprendre ces équations, il faut concevoir qu'aux i équations données on ait ajouté 3 7/ — i — / équations nouvelles, telles, que le déplacement considéré devienne le seul possible. Alors toutes les variables moins une deviennent fonctions de celles-ci, et on peut, sous ce point de vue, différentier les équations (i). D'ailleurs on ne diminue pas ainsi la généralité de la question, puisque le déplacement particulier que l'on considère

y6 COURS DE MÉCANIQUE.

peut être l'un quelconque de ceux qui sont compatibles avec l'état du système.

459. Les équations (2) au nombre de ï" contiennent 3/2 variations §x, ôy, ^^, ... -, il y en a 3 w— / qui sont arbitraires, et les autres, au nombre de /, dépendent de celleslà. Si on porte les valeurs des dernières dans l'équation

(3) \{XSx-hY§j^Z§z). = o,

celle-ci contiendra seulement 3/? — i termes multipliés cbacun par l'une des 3n — i variations arbitraires, et comme la relation (3) doit être vérifiée quelles que soient ces variations, il faudra égaler à zéro leurs 3n — i coefOcients. On aura ainsi 3/i — z équations qui, jointes aux équations (i), donneront 37Z équations nécessaires et suffisantes pour l'équilibre, entre les composantes des forces et les coordonnées de leurs points d'application.

L'élimination de i variations au moyen du système (2) peut se faire par la méthode des multiplicateurs. Multiplions la première par 1, la seconde par /Lt, etc., et ajoutons-les membre à membre avec l'équation (3). Déterminons les quantités 1, ^,. . . qui sont au nombre de i par la condition que les coefficients de i variations soient nuls et égalons à zéro les 3?z — z'autres coefficients. Nous

aurons

les 3/z équations suivantes :

1 r/L dM dx dx

dx

1 ,, , dL dM 1 Y + X— +fz -^r- 1 dj dy

\ ^ . dL dM 1 dz dz