X -f- X — - -f- p — ax' df

461 . Réciproquement, si ces équations ont lieu, je dis que les forces se font équilibre; car, en multipliant ces équations respectivement par §x, dj~, dz, èx' , ... et ajoutant, on retrouve l'équation

dL dM

d.v dx

Y + / — + p — - + . . . Uj- -f . . . = o,

dy dj

c[ui se réduit à l'équation (3), en ayant égard aux relations (2) : or l'équation (3) exprime que la somme des moments virtuels est nulle,

462. Les équations (4) conduisent à une conséquence remarquable. On voit qu'elles resteront les mêmes et que l'équilibre actuel du système subsistera si l'on supprime la condition L ==1 o, à laquelle le système devait satisfaire dans tous ses déplacements, pourvu qu'on joigne aux forces primitives de nouvelles forces, savoir une force appliquée en A et dont les composantes parallèles aux axes seraient

dh dh dL

dx dj- dz ^

une force appliquée en A' et dont les composantes seraient ,

dL dh dL

dx' dy' dz'

et ainsi de suite. La liaison exprimée par l'équation L = o produit donc ces forces.

L'intensité de la force qu'il faut appliquer au point A. par exemple, est égale à

dx)-'^\dy] "^ \d.

yS COURS DE MÉCANIQrE.

et sa direction est celle de la normale à la surface représentée par l'équation

quand on y regarde x,y, z comme seules variables, puisque les cosinus des angles que la normale fait avec les

, , dYt dL, dL axes sont proportionnels a ~—i —-•, —p-

Les conditions M:=o,N = o, etc., peuvent de même être supprimées, pourvu que l'on applique à tous les points du système des forces convenables. Ces forces auxiliaires, qui peuvent tenir lieu des liaisons qui existent entre tous les points, sont celles qui produisent les tensions et les pressions dans les liaisons du système.

Enfin, si l'on supprime toutes les liaisons, ce qui rend tous les points libres, on voit que les forces P, P', . . . appliquées à ces points libres sont détruites par les forces

^ doc'

)oint A,

^ dz' '

appliquées au point A', ainsi de suite.

SUR LES DIVERS MOUVEMENTS VIRTUELS d" UIV SYSTÈME.

463. Un mouvement virtuel quelconque se compose de 3« — z jnouvements virtuels particuliers et distincts.

TREKTE-QUATRIÈME LEÇON. yg

Soient diX, dij^ è^z^dix' , . . . les variations des coordonnées des points pour un premier mouvement; d^o:, d^j, ^^z^^^x' , . . . pour un second mouvement. Enfin, k étant égal à 3« — z, soient J^x, ^kj^ cJ^^, àf,x' , ... les variations des coordonnées pour un A'^""* mouvement. On a les équations

dh . dL ^ dL ^ c?L „ ,

ax dy dz dx

(i) {du dm , du. du, , ,

-— dx + — - (Jj + -— dz -4- -p7 dJT -r . ■ . — O,

a.r a^ dz dx

auxquelles on satisfera de la manière la plus générale, en supposant

^ J7 z= «1 (î, .r -f- «2 <5'2 .r + «3 (îj a: -h . . . + a^ S;, x ,

«1 , «2 j • ■ • 1 «Â étant des indéterminées au nombre de A ou de Zn — i. En effet ces valeurs satisferont aux équations (i)', ensuite parmi les 3 A variations, il y en a A auxcjuelles on peut donner des valeurs tout à fait arbitraires. En déterminant convenablement les A facteurs «1, «2, . . . ,fl;r, ces variations restant au nombre de i se trouvent déterminées par les formules (a) de manière à satisfaire à toutes les équations (i). Donc, etc.

Il faut toutefois qu'il n'y ait pas de relations linéaires entre ^^x^ ^\y ■> • • • de la forme

h^ 5i X -\- bi §i X -h . -\- biiSi,x = o, è, (î, j -h b-, §,y -f- . . ., -:- bk SkX = o;

bi §i x' -H b^ Si x' -\- ...-{- b]; Sii x'= o,

8o COURS DE MÉCANIQUE.

c'est-à-dire qu'aucun des déterminants provenant du système

Si a:, §,x, §1^, ^i-r', . . . , ^2 j:, ^2 r, SjZ, o-..r', . . . ,

^k^^, S^j, OkZ, hx' .

ne soit égal à zéro.

464. Ainsi comme application la plus simple, pour l'équilibre d'un point libre il faut et il suffit que la somme des moments virtuels soit nulle pour trois déplacements virtuels quelconques du point, et l'on choisit les trois déplacements virtuels parallèles aux axes. Tout autre déplacement virtuel est composé de ces trois-là.

Pour un point situé sur une surface donnée, deux déplacements particuliers suffisent, et sur une courbe un seul déplacement est possible.

465. En général soient L = o, M =: o , . . . les équations de condition. On prendra 3 « — / quanti tés o,(j;,0,. .. fonctions de x,y^ z, x\..- et dont les variations seront toutes arbitraires. L'équation des vitesses virtuelles deviendra

* (îw -4- Y ^i|/ + 0<^9 + . . • -t- >. (îL 4- p. (îM + . . . =: o ;

et comme JL, (?M, . . . sont nulles et que Joj, dà , . . sont arbitraires, on aura