On pourrait obtenir ces équations en appliquant
la méthode générale^ mais il est plus simple d'imprimer au système six mouvements virtuels arbitraires et indépendants les uns des autres , de telle sorte que les relations qui en résulteront entre les forces, ne pou-
Stlt.j;. — Méc, II. 6
Fi". i5o.
Sa COURS DE MÉCANIQUE
vant se déduire les unes des autres, seront précisément les six équations d'équilibre.
Le déplacement le plus simple consistera à faire mouvoir le corps parallèlement à l'un des axes, Ox par exemple, de telle sorte que tous ses points décrivent de petites droites Art, A' «', toutes égales. Alors ^j-, dz, âj\ dz'^. . . , sont nuls et dx = dx' =r^dx", ....
Dans ce cas l'équation générale
(i) \ {X3a:-^Y3r'hZ3z) = o
devient, en supprimant le facteur commun âx,
on aura de même
468. On obtiendra les trois autres équations d'équilibre en faisant tourner le corps successivement autour des trois axes. Supposons d'abord que la rotation s'effectue autour de Oz. Le point A décrira un élément Aa d'une circonférence lAH de i^ajon AC = /• et parallèle au plan xOy. Soit l'angle AGI = w. On a d'abord oz = o, puis à cause de
^=rcosc>3, j- = rsinw,
on a, la rotation étant mesurée par l'angle §(ù,
OU bien
^^ = — yS(û, Sj=^.tSw.
Donc
TREHTE-CINQUIÈME LEÇOWo 83
et de même
X' Sx' + Y' §x' + Z' Sz' = [Y'x' — X'j') ^«.
On a donc, en substituant ces valeurs dans l'équation (i] et supprimant le facteur constant :Jco,
et de même
y (zj-Y.)=
(7) .2^(Xz-Z^) = o.
69. On peut déduire du principe des vitesses virtuelles les équations des moments sous leur seconde forme (367).
Décomposons la force P {fig. i5o, p. 8i) en deux autres, l'une Z parallèle à Oz, l'autre Q située dans le plan du cercle lAH parallèle au plan xOy. Imprimons au corps un mouvement de rotation, de manière que le point A décrive un petit arc de cercle ha dont le rayon AC est perpendiculaire à O^. Abaissons CD = q perpendiculaire sur la direction de la force Q et imaginons celle-ci transportée au point D. La force P est remplacée par les deux forces Z et Q. Or le moment virtuel de Z est nul, puisque l'élément A« est perpendiculaire à cette force. Quant au moment virtuel de la force Q appliquée au point D, c'est le produit de cette force par q dw. On a donc, en appelant Vp le moment virtuel de la force P,
On aura de même pour les autres forces
P'// = Q' </' 6^w, V"p" = q"(f ^w , . . . , et l'équation d'équilibre (5) devient
84 COURS DE MÉCAîilIQtJE.
Elle exprime, comme nous l'avons vu, que la somme des moments des forces par rapport à l'axe Oz est nulle.
AUTRE MANIÈRE d'oBTEWIR LES CONDITIONS DÉQUILIBUE d'cK SYSTÈME SOLIDE.
4'70. Concevons les points du corps rapportés à un nouveau système d'axes rectangulaires. Les coordonnées {x,j, z) d'un point seront liées aux nouvelles coordonnées par les équations
ix = a. -\- a .r, + Z> j, 4- c Z| , 2 = 7 + a" Xi -T- l>" Ji + c'''c, ;
et l'on aura entre les constantes a^a! , . . . les équations de condition
/ ab-{-a'b' + a"b" = o,
(3) ] ac -\-a'c' -\-a" c" =o, ( hc -\-b'c' +è"c"=o.
Le système étant solide, si l'on conçoit que les axes des Xi ,ji, Zi , en fassent partie, un déplacement quelconque du système changera la position de ces axes, aussi bien que x^j, z, mais ne changera pas 0:1,^1, Zx . Donc
1§x z=:§o!. -{- .T^ Sa ~hfi3b +z, (îf, ^2 = Sy -\~ X, Ba" H- j, S b" H- z,^c" .
Supposons qu'avant le déplacement les axes des Xi,jyi, ^i, coïncident avec les axes des x^y^ z^ alors on aura
TREKTE-CINQXJIÈME LEÇON. 85
et par conséquent •
Sa =ro, Bb' =o, Sc"=zo (*),
et les équations de condition (3) donneront, par la différentialion,
§b + §a' = o, dc-^§a" = o, Se' -i-Sb'' = o.
Posons
Sa' = -3b = S0, Sc = —Sa''=S^\>, Sb"z= — 8c' = S<fy
on aura
Sx = Sa. — y Sa -h zS^ ,
S y :^ Se -h X Soi — ■ 2 5(J) ,
^z = ^7 — xS-h ■ — -jof; et en substituant dans l'équation générale
\ {XSx-i-YSy-hZSz) = o, il vient
<îayX4- S§\ Y -\- S-\ Z -\- So>\{Yx — liy) (5) I
-h s<f y (Zj — Yz) -h s-^ y (Xz — z.r) = o.
Les variations âa, âo, . . . étant arbitraires, cette équation ne peut avoir lieu que si les coeificienls de ces variations sont nuls; on retrouve ainsi les conditions exprimées plus haut (467, 468).
ÉQUILIBRE d'un SYSTEME SOLIDE GÊNÉ PAU UN OBSTACLE.
471. Si le système renferme un point fixe O, on prendra ce point pour origine des coordonnées et on exprimera, au moyen de trois équations, que les distances
(*) Ces dernières équations peuvent s'obtenir en différentiant les formules (2 ) et en introduisant les hypolhèses a = i, a = o,. . . .
86 COURS I>E MÉCAKIQUE.
mutuelles des points A, A' et O sont constantes; puis par 3 [fi — 2) équations que les distances des n — 2 autres points à A, A' et O restent invariables, ce qui fait en tout '5n — 6 + 3 ou 3/2 — 3 équations de condition entre les coordonnées des points du système. Donc il y aura, dans ce cas, seulement 3 équations d'équilibre entre les forces. On obtiendra ces trois équations en faisant tourner le système successivement autour des trois axes. Il est évident d'ailleurs qu'à cause de la fixité du point O, il est impossible de faire mouvoir le corps parallèlement à un axe comme lorsqu'il était libre.
472. S'il y a deux points fixes O et H, ou, ce qui revient au même, un axe fixe OH, on prendra cette ligne pour axe des z. On exprimera, par deux équations, que les distances du point A aux points O et H sont invariables et, par 3 [ji — i) équations, que les distances des n — i autres points aux points O, A, H sont également invariables, ce qui fait en tout 3n — 3 -j- 2 ou 3/? ■ — i relations entre les coordonnées des différents points du corps. Ainsi le système est à liaisons complètes 5 et, en effet, un seul déplacement est possible, c'est un mouvement de rotation autour de l'axe OH. C'est par ce déplacement virtuel qu'on parviendra à la seule équation d'équilibre à laquelle les forces appliquées au corps doivent satisfaire (373).
