L'équation (4) se simplifie lorsque le système

., dx^ cly^ dzo ,dx\

part du repos. Alors "^-i-' ^^'T"' ^^'TjT'^ "^ ~^'°'°'

disparaissent, et l'on peut dire qu'i/y a équilibre entre les quantités de mou[^ement que les forces donneraient aux divers points du système s'ils étaient libres et celles qui ont lieu effectivement, et avec lesquelles ce système commence à se mouvoir, au bout du temps 0, ces dernières étant prises en sens contraire.

MARCHE A SUIVRE POUR APPLIQUER LE PRINCIPE DE d'alEMBERT dans LE CAS DES PERCUSSIONS.

498. Pour appliquer le principe de d'Alembert, étendu au cas des percussions, il faut suivre la marche indiquée

au n° 490. Des équations

/ dL ^ dL , dL .

dx dy dz

——§x-^ ■ — -Sy -\ — ^z H- . . . = o,

d.c dy dz

on peut déduire les valeurs de i variations et les porter dans l'équation

^ ( I ^dtA- in~— n/-^\§x

,r/r„ dfX ,

dt dt j ''

' dzo dz \

Tjdt ~\- m ■ — • — m -— o ;

puis on égalera à o les coefficients des 3 /i — i variations

Î08 COURS DE MÉCÀPflQUE.

restantes. Mais il vaut mieux employer la métliode des multiplicateurs. On a, par ce dernier procédé, en appelant 1, [j., V, . . . , z coefficients indéterminés, les 3/2 équations suivantes :

d.v d.r„ r ^ ^ dL dU

m — m --- = iXdl -[-l— [- p. — !--

de dt / dx dx

(3) / dr df, r , clL dU

dt '" dt J ' " dy ' ^' dy ' ' ' ' ''

Dans celles-ci IXtlt, JYdt. jZdt sont les composantes de la quantité de mouvement que la force P serait capable de communiquer dans le temps 6 au point m s'il était libre, laquelle est connue par l'expérience. On

remplacera de même lH.' dt, jY' dt, Ï7J dt,. . . , par

leurs valeurs. On a ensuite Zn — / équations provenant de l'élimination de X, j/, v,. . . , entre les 3/z équations précédentes.

D'un autre côté, si l'on différentie par rapport au temps les équations de condition, on aura i équations, telles cjue

rfL f/L d.r: dh dy dh dz dh dx'

dt d.T dt dy dt dz dt dx dt

d'où l'on tire ï équations, telles que

d'L I dx dx^ \ dlj ! dy dy^

dx \ dt dt j dy \ dt dt '

en regardant comme constantes les ionctions -—-; —--■,•' ••!

^ dt dx

qui ne varient pas sensiblement pendant la très-courte

durée de la percussion. On a donc en tout S/z équations

-, . 1 o, • '^■^ dy dz dx'

pour déterminer les 0/z inconnues — -: -^; — 1 —--■)••••> ^ de dt dt dt

c'est-à-dire les composantes de la vitesse de chaque point.

Fis. '54-

TREKTE-SEPTIEME LEÇON. lOQ

MOUVEMENT DE DEUX COUPS LIÉS PAR UN FIL ET PLACÉS SUR DEUX PLANS INCLINÉS.

499. Deux corps pesants m et m' dont les masses sont m et m' sont placés sur deux plans inclinés AC, A'C,

et unis par un fil passant sur une poulie située au sommet des deux plans.

Les deux parties du fil sont respectivement parallèles à ces deux plans et passent par les centres de gravité des deux corps. Quelle est la loi du mouvement de cet assemblage?

On peut supposer que chacune des masses soit réunie à son centre de gravité. Soient Cm = x, Qm' =. x'; nommons a et a' les angles CAA', CA'A, et / la longueur totale du fil.

En négligeant les frottements, la force motrice du point ///, dans la direction de son mouvement, est mg sh\y.^ et celle qui donnerait à ce point supposé libre

le mouvement qu'il a réellement est m-jY' D'après le principe de d'Alembert, la force mgûncx. — m — '- doit

faire équilibre à la force analogue m'gsinoc' — m' »

qui serait appliquée au point m' et tirerait ce dernier en sens inverse. On a donc

m\ ff sin a —

rP.z' - 1 = m' I ^ sina' -—

On peut éliminer x' au moyen de la relation •-'-'t- -fax- ,â

IIO COUHS DE MECANIQUE.

on en tire d'abord

d.r' dx

de dt

Ainsi à chaque instant les vitesses des deux points sont égales et de sens contraires, ce qui était bien évident à priori. Il en résulte aussi

d'^x' d^'x df ~ ~ "^'

d'où l'on conclut, en substituant dans l'équation (i),

d'^ X (/Tzsina — w'sina')

( o I :zz: ^ - - •

Sans aller plus loin, on voit que la force accélératrice du point ni étant constante, son mouvement est uniformément accéléré. D'ailleurs on déduit de celte équation, par deux intégrations successives,

dx (msina — w'sina')

3) POU— - = g-^ , -t-\-c^

^ ' dt ^ m + m'

, , , ^[m sin a — m' sin a.'] f

les constantes c et c' étant les valeurs de >> et de x relatives à la position initiale du mobile m. Si l'on avait

m sin a = m' sin a',

on aurait

' t>^=c, X =^ et -\- e' ,

et le mouvement serait uniforme. Si en outre on avait c = o, on aurait v z= o ei x :=^ c'. Ainsi le corps resterait en repos, ce qui s'accorde bien avec les conditions connues de l'équilibre de deux corps placés comme dans l'exemple actuel.

Autre manière de traiter le problème précédent.

500. On peut dans cet exemple particulier se dispenser d'employer le principe de d'Alembert, en introduisant la tension T. On a

(i) w— =/w^sina— T,

(2) m -— — //z^o'sina — T, d'où, en éliminant la tension T,

(3) m{g^moL — -^\=m[gsmrj.—-^

Pour avoir la tension T, on tirera de cette équation, en

remplaçant — ; — par —-•,

^ " dt^ ^ dv

d'^ X g {m sin a — m' sin a') dt'^ m -\- m'

et, portant cette valeur dans l'équation (i),

g mm' (sin a -i- sin a' )

Ainsi la tension du fil est constante pendant toute la durée du mouvement.