AUTRE SOLUTION
506. On peut encore résoudre ce problème sans faire usage du principe de d'Alembert. Soient T, T', T" les tensions des trois fils. La tension T', par exemple, est égale à l'une quelconque des deux forces égales et contraires qu'il faudrait appliquer aux points m' et ni" pour remplacer le lil qui les unit, s'il venait à être supprimé. Or on a évidemment
di>
""dt=^^
dt-
dt
do
En ajoutant toutes ces équations, on a encore
dt M '
Il6 COURS DE MÉCANIQUE.
Il est ensuite facile d'obtenir les valeurs des tensions. On a
RI
On voit donc qu'on a
et cela doit être, car la tension T" met en mouvement trois masses, tandis que T' n'en fait mouvoir que deux et T qu'une seule.
Dans ce qui précède on a négligé la masse des cordons. Si l'on en tenait compte, la tension serait variable dans l'étendue d'un même cordon.
MOUVEMEJNT d'uNE CHAINE SUR DEUX PLANS INCLINÉS.
507. Soit BCB' une chaîne pesante homogène qui repose sur deux plans inclinés disposés comme dans la fig. i54j p. 109, et faisant avec l'horizon des angles CAA'= a, CA'A = a'. Soient / la longueur de la chaîne. p la masse de l'unité de longueur. Posons x = BC, j:' = B'C, en sorte que l'on ait
Considérons une molécule p prise sur la portion CB. Les forces qui la sollicitent sont la force motrice y.gsina^ et
la force effective u—rr' Toutes les forces motrices des
molécules de la partie CB et leurs forces effectives prises en sens contraire se composent en une seule
ma
TREA'TE-HÎJITIÈME LEÇON. 11^
OU bien
De même la différence entre les forces effectives et les forces motrices de la partie CB' sera
px' I fi-sina' —
On aura donc, d'après le principe de d'Alembert,
(2) ^/g-sina— -— j =j:'(g-sma — -^
d'où, en éléminant x' à l'aide de l'équation x -h x' = l,
d^.T fsina + sina') . ,
(3) 'dF ~ ^ } -■r + â'sma' = o.
Telle est l'équation du mouvement.
508. Pour intégrer cette équation, posons, afin de simplifier,
g-fsina + sina']
l'équation (3) devient
d^x [ Zsina'
dt' \ sin a H- siii a!
ou bien
en posant
,/,> /sina'
sin a -H SHi a'
Il8 COUKS DE MÉCANIQUE.
L'équation (5) a pour intégrale
on aura donc
l sin a'
f n) ^ =: -: -. ; + Ac"' + Be-"%
^'' sina + sma
A et B étant deux constantes. Pour les déterminer, on peut supposer connues la position et la vitesse initiale
du point B. Si pour t = o on a CB = x^ et — = p-q, on
aura
/sin a' .
sma -+- sma
Au bout d'un certain temps facile à déterminer, toute la chaîne se trouve sur le nième plan. Le mouvement change alors de nature et devient uniformément accéléré.
509. La condition nécessaire et suffisante pour que la chaîne reste en repos est que Ton ait
dx En effet, en remontant à la valeur de p» ou de —-j on
reconnaît que l'on doit avoir
Ae"'— B <?-'' = o,
quel que soit f, ou, en multipliant par e~"',
Aff'"' = B.
Or cette équation ne peut pas avoir lieu pour toutes les
valeurs de £, à moins que l'on n'ait en même temps A = o,
B = o. Dans ce cas on a
/sin a'
r = GB = -. -. ,-,
Sin a + sm a
/sin a
.r'= CB'= -. -. — -,-,
sma -f- sma
TREKTE-HC ITIEME LEÇON. lîp
el par conséquent
CB sina' CB^ " sina '
Cette équation exprime que la droite BB' est liorizontaîe, ce que l'on pouvait prévoir.
510. On peut encore trouver Féqualion de ce mouvement en s'appuyant sur le principe des vitesses virtuelles. Ainsi les forces
étant respectivement appliqués aux points B et B' dans la direction du mouvement que ces points peuvent prendre, il faut, pour l'équilibre, que l'on ait
( ■ d'A - /{ • > dKx'\ . ,
p.v I g-sma — — — ox -h p.T' IgsmGt. j-;- j àx= o.
D'ailleurs dx' = — âx^ puisque .r + x'= /. Substituant — dxk dx',oii arrive à l'équation précédemment obtenue.
MOUVEMENT DE DEUX POINTS ASSUJETTIS A DEMEURER SUR DEUX COURBES DONNÉES ET DONT LA DISTANCS
EST INVAraABLE.
511. Voici un problème propre à bien faire comprendre l'usage des fonctions ^, [j., v,,.., introduites dans les équations du mouvement pour opérer une élimination.
Soient m et m' deux points matériels sollicités par ^is- ^^^- deux forces P et P', constantes
ou variables. Ces deux points sont assujettis à rester à une distance constante mm' = l l'un de l'autre et à demeurer séparément sur deux courbes données 772 A et 77z'A'. On suppose, pour plus de simplicité.
