DÉFINITIONS

S12. On appelle moment cTinertie d'un point matériel par rapport à un axe le produit de la masse de ce point par le carré de sa distance à l'axe.

t>13. Le moment d'inertie d'un système de points matériels dont la forme est invariable, par rapport à un axe, est la somme des moments d'inertie de tous ces points par rapport à cet axe. Ainsi m, m', m", . . . , étant les masses des molécules et r, 7^', v"^ . . . , leurs distances respectives à l'axe, le moment d'inertie du système sera

jnr"^ 4- m' r' ' H- m" /'^ H- . . . .

Nous le désignerons ordinairement par 2m/'^.

5J4. Les points matériels qui composent un corps n'y sont pas répandus d'une manière continue : on sait, au contraire, qu'ils sont séparés entre eux par des espaces vides qu'on appelle àes pores. Cependant on peut dans chaque cas obtenir le moment d'inertie, en supposant la masse distribuée d'une manière continue dans le corps. Cela revient à prendre, au lieu de 2 /«/•', l'intégrale définie de r^dm, pour toute l'étendue du corps, et, comme on l'a vu en Statique à Foceasion des

124 COURS DE MÉCAKIQDE.

centres de gravité des corps solides, les résultats de ces deux hypothèses diffèrent très-peu, pourvu que les pores soient extrêmement petits relativement au volume de tout le corps. Il suffira donc de décomposer le corps en une infinité d'éléments infiniment petits; on prendra le moment d'inertie d'un élément quelconque, et l'on aura celui du corps par des intégrations.

Fi[j 157.

MOMENTS d'inertie d'un parAllélipipî;de rectangle.

515. Soit AE un parallélipipède rectangle, et proposons-nous de trouver ses moments par rapport aux trois

arêtes coniiguës OA, OB, OC.

Soit m [x, y, z) un point quelconque de ce solide. L'élément qui correspond à ce point est un parallélipipède jn77i' infiniment petit dont le volume est dx djdz et la masse pdxdydz^ ^ p étant la densité de ce corps que nous supposons constante dans toute son étendue. La distance du point m à l'axe Oz est sJx^-\-j^- Donc le moment d'inertie de cet élément par rapport h Oz est

(.r' 4- J' ^ ) p dx flj dz, et, par suite, le moment du parallélipipède est

p f j I {x'^+j'')dxdydz.

Celte intégrale triple doit s'étendre à toutes les valeurs positives de a:, j^ z respectivement plus petites que fl, h, c ou que les longueurs OA, OB, OC des arêtes du parallélipipède.

Comme z n'entre que par sa différentielle sous le signe d'intégration, il paraît plus simple de commencer à inté-

TREHTE-KEUVIÈME LEÇON. 125

grer par rapport à cette variable entre les limites o et c, ce qui donne

cp I j [x'^-\-j'^) dx djr.

On intègre ensuite par rapport à y depuisj^ = o jusqu'à ^ =: ^ et enfin par rapport à x, de x =^ o k x = a. Ou

trouve ainsi

abc , , ,

pour leraomentd'inertie du parallélipipède. En appelant M la masse du corps, on a M =^ pabc. L'expression précédente sera donc— [cr-i-b^). La même chose se dira

des autres axes, en sorte que les moments d'inertie du parallélipipède par rapport aux axes Ox, Oj", Oz sou

Si l'on suppose

on aura

et l'on voit que, des trois moments d'inertie, le plus grand correspond à la plus petite arèle et le plus petit à la plus grande.

ellipsoïde HOMOGENE.