SOLIDES DE RÉVOLUTION
520. On peut connaître, par une seule intégration, le moment d'inertie d'un solide de révolution, par rapport à son axe.
Soient CD la courbe méridienne et Ox l'axe de révolu- Fig. i58. tion. Prenons cette droite pour
axe des x, et pour axe des j' une perpendiculaire 0/ située dans le plan du méridien.
Soient MP et M'P' deux ordonnées infiniment voisines, et NKK'N' un rectangle compris entre ces deux ordonnées 5 si
l'on pose
on aura
PN = u, OP = X, NKK'N' =^«^x.
et le volume du solide engendré par la révolution de ce
rectangle sera
iTi: udu d.v.
Donc le moment d'inertie de ce solide sera
2 TTO u du dxu^ ou 'X'n^w'da dx, et celui du solide engendré par PMM'P'
'.Tï 1 pu^dudx.
c'est-à-dire - pj* dx^ et enfin le moment d'inertie du vo-
Stukm. — JJcc, IL
l3o COURS DE MÉCANIQUE.
lume engendré par la révolution de l'aire ACDB sei^a
2 Va
en désignant par a et b les abscisses OA et OB des extrémités de la courbe CD.
S21. Cherclions, par exemple, le moment d'inertie du segment sphérique. Il suffira de supposer que la courbe CD est le cercle qui a pour équation
jy^= 2 7'X X^.
Si l'on porte cette valeur dans l'expression
TTp i
-Tzp I fdx,
on aura l'intégrale
— Ttp I (arj;- — x'^)-dx.
On trouve, en effectuant l'intégration,
-T:pb^[~-\~'::r—rh]->
expression qui donne — ^— pour le moment a inertie de la sphère entière, en faisant h =. ir.
RELATION ENTRE LES MOMENTS D INERTIE PAR RAPPORT A DEUX AXES PARALLÈLES.
522. Étant donné le moment d'inertie d'un corps solide par rapport à un axe qui passe par son centre de gravité, il est facile d'avoir son moment d'inertie par rapport a un autre axe parallèle au premier. ,
TRENTE-NEUVIÈME LEÇON. l3l
Prenons le centre de gravité pour origine des coordon- Fig. 159. nées, le premier axe pour axe
des >3, et pour plan des xz le plan des deux axes parallèles.
Soit a leur plus courte distance OA.
Considérons un point quelconque M {x,j, z) du système, et so\tm la masse de ce point :
nommons 7" et Pt ses distances MH, MK à O 2 et à AB. On a
R2 r= ( jT . — ,-7 )- 4- j^ = .r^ H- j' — lax + a',
ou, à cause de x^ -h y^ = r^,
lax -^ aP-.
Par suite
wR2i=: /«7'2 — lamx -)- ma}.
On aurait des équations analogues pour tous les points du système. Donc en les ajoutant et désignant par M la masse du corps, on a
m R- = > mr ^ ■ — 2a y mx H- M a^ .
L'origine des coordonnées étant le centre de gravité du corps, on a
(2) \ mx =: o.
On a donc enfin
(3) \ »^R' = Vwr2-j-Ma^
Ainsi le moment d'inertie d'un système de points par rapport à un axe quelconque est égal à celui de ce
.l32 COURS DE MÉCANIQUE.
sjstème par rapport à un axe parallèle à celui-ci mené par le centre de gravité, augmenté du produit de la masse du corps par le carré de la distance des deux axes.
On conclut de là que le moment d''inertie d^un corps par rapport à un axe qui passe par son centre de gravité est moindre que pour tout autre axe parallèle à celui-ci ; que ce moment est le même pour tous les axes parallèles et également éloignés du centre de gravité, et qu'«7 augmente à mesure que l'axe s^ éloigne de ce point.
Si l'on représente \ mr"^ par MA^, l'équation précé-
denle peut s'écrire
mïl' = M(^--l- «=
RELATION ENTRE LES MOMENTS D INERTIE PAR RAPPORT A DIFFÉRENTS AXES QUI PASSENT PAR LE MEME POINT.
S23. Soient 01 un axe quelconque et Ox, Oj, Oz trois Fi[[. iGo. axes rectangulaires. Désignons
par m la masse d'un point quelconque M(x,j, z). Abaissons MH perpendiculaire sur 01 ûtposons
OM = u, MH = r.
On a
(i) r= = ?/- — (mcosMOH)';
or a, S, y étant les angles que Oî fait avec Ox, Oj,
D'ailleurs
^^cosMOH = ^cosa + jcosS -i- zoosy.
Tr.EKTE-rJEUVlÈ:ME LEÇON. l33
Par conséquent
(2) r^ = ^--{-j^ -f-s^ — (.rcosa + jcosS + s 0087)^9
que ron peut écrire ainsi ;
( r' = (.r-+j-4-z') (cos'a + cos-S-f- 005^7) I — (xcosa + jcosS + ZCOS7)',
à cause de
cos= a -+- cos^ S + cos' y = I .
En développant Féqua tien (3), on a
( r'= {j^ + z-) cos'aH- (a:^-]-z') cos^g + (a;' -f-j*)cos^7 [ — 2.JZ cosS COS7 — 2XZC0Sa COS7 — 2.r/cosacos5.
Multiplions cette équation par m et ajoutons toutes les équations analogues relatives aux autres points du système : nous aurons, en désignant par fx le moment d'inertie de tout le système par rapport à Taxe 01,
>M. ï^" l ^ ^^ ^°^* ^' / '" ( J' + ^^ ) ~'~ ^^^^ ^'/ w ( -^^ H- -^) (5) ( -\- cos^y\ /n{x--{-f^) — 2COSSCOS7 \ mjs
I — 2 C03 a cos 7 \ m xz — 2 ces a cos S \ mxy .
Les coefficients des cosinus dans le second membre sont des valeurs indépendantes de la direction de l'axe 01. Posons
ikz=z\ m (j^ -1- z^), D = \ mjz , B = \ m (.r' -^ z''-), E :^^ \ mors , Ç.=z\ in[ x'^ -i- j^) , F =:; \ m xf .
l34 COURS DE MÉCANIQUE.
A, B; C sont les moments d'inertie du système par rapport aux axes de coordonnées. La valeur de [x devient
{ y. = A cos'a + B cos^g -^ C cos^Y (7) ]
( — 2DcosS COS7 — 2E cosa C0S7 — aFcosa cos6.
QUARANTIÈME LEÇON. l35
