Prenons pour exemple l'ellipsoïde
On a vu (518) que, M étant la masse de cet ellipsoïde,^ les moments par rapport aux axes sont
B = ;^ M {oT- -H c-
Or le centre de l'ellipsoïde est son centre de gravité et SCS axes sont les axes principaux d'inertie 5 car on a évidemment pour ce point
\ mTj^o, \ mxz = o, 7 n?fz^o.
Supposons a<^b, alors A^B, et pour qu'il existe un point O', il faut qu'on ait B=:C, c'est-à-dire b=:c. Donc l'ellipsoïde doit être de révolution autour de l'axe OA. Il y aura donc deux points répondant à la ques-
iql COURS DE MÉCANIQUE.
tion, situés sur le plus petit axe et à des distances de
l'origine égales à ± 4 / -
Ces points seront en dedans ou en dehors de l'ellip-
soïde, suivant que l'on aura- — ^ — ^ar- ou b^a\J6. Ils seront aux extrémités du petit axe, si l'on a. b = a )J6.
MOUVEMENT DE UOTATION d'uN SYSTÈME SOLIDE AUTOUR
d'un axe fixe.
533. Dans un pareil mouvement, tous les points du système décrivent des arcs de cercles semblables, dont les rayons sont leurs distances à l'axe. Ces rayons décrivent autour de l'axe des angles égaux, dans un même temps. Tous les points situés à la même distance de l'axe ont à chaque instant la même vitesse, et celle des points situés à une distance égale à l'unité est ce qu'on appelle la uif.esse angulaire ou de rotation du système. Nous la désignerons par 0) : c'est généralement une fonction du temps. La
vitesse — d'un point quelconque est proportionnelle à sa
distance /' à l'axe, et par conséquent elle est représentée par rco. En effet, soient <:^5 et Je les arcs infiniment petits parcourus par le point considéré et par un autre point situé à l'unité de distance de l'axe 5 ces arcs étant semblables, on a
ds = rduf
et par suite
ds de
dt dt
534. Un mouvement de rotation est dit uniforme quand la vitesse de rotation est constante. Ce mouvement a lieu lorsque les points du système ne sont sollicités par aucune force motrice ou par des forces motrices qui se font équilibre autour de l'axe fixe.
QUARANTIÈME LEÇON. l43
En effet, soit P la force motrice d'un point m, qui décrit autour de l'axe O^r un arc de cercle MmM' d'un rayon ¥s.j7i = j\ La force qu'il faudrait appliquer à ce point, s'il était libre, pour lui donner son mouvemenl effectif, c'est-à-dire pour lui faire parcourir l'arc Mj?iM', est la résultante de deux forces tielîe
l'une la force tangen-
dt
d<A m?- —-- ; dt
l'autre, la force centripète, dirigée suivant le rayon mlL :
ou mroi-.
Décomposons la force motrice P en deux autres, l'une Yia. i6i. Z, parallèle à l'axe Oz, et l'au-
tre Q-, située dans le plan du cercle MM', à une distance KL = q, de l'axe O^.
D'après le principe de d'Alembert, toutes les forces motrices du système font équilibre, à chaque instant, aux forces effectives prises en sens contraire. Mais, pour tous les points du corps, les composantes m/'W" et Z sont toujours détruites par la résistance de l'axe fixe. D'ailleurs les autres composantes étant dans des plans perpendiculaires à l'axe, il faut et il suffit c[ue la somme de leurs moments par rapport à celui-ci soit nulle, d'où résulte
ir,=L'^'''
ou, puisque — est le même pour tous les points du système.,
de
