CALCUL DES PERCUSSIONS EXERCEES SUR L AXE FIXE
o41. Supposons que le corps soit mis en mouvement par une force instantanée qui imprimerait vme vitesse V à une certaine masse i^. au centre de gravité de laquelle elle serait appliquée. Cette force instantanée ou percussion a pour mesure la quantité de mouvement p.V. Prenons toujours l'axe fixe pour axe des z, et pour plan des
Xf le plan perpendiculaire à l'axe fixe mené par le point du corps auquel est appliquée la force instantanée. Nous désignerons par a et S les coordonnées de ce point d'application.
On sait que les quantités de mouvement imprimées auxdifférents points doivent faire équilibre aux quantités de mouvement effectives, prises en sens contraire, et cet équilibre doit avoir lieu en vertu de la fixité de l'axe. On peut rendre cet axe immobile en fixant deux de ses points pris à volonté. Prenons le point O, origine des coordonnées, et un autre point H c[uelconque sur Oz. En supposant que ces points cessent d'être fixes, on pourra détruire les percussions exercées sur l'axe et maintenir cet axe en repos, en appliquant aux deux points O et H deux forces instantanées R^ et Rj d'intensités et de directions convenables. Si l'on introduit ces deux forces, qui représentent la résistance des points, l'équilibre aura encore lieu en regardant le corps comme entièrement libre. Il faut donc appliquer à ce système de forces les conditions d'équilibre connues d'un corps entièrement libre.
Soient X, Y, Z les composantes de la quantité de mouvement pV, et Xi, Yj, Zx celles de la résistance du point O, X2, Y2, Z2 celles de la résistance du point H; enfin
dy
dz
m—--! m-—-, 772 — les composantes de la quantilé de
dt de dt ^ '■
mouvement effective pour le point m : soil OH = h. On aura d'abord les trois équations
dx
le
dj^ dt
+ X, + X2 = Op
+ Y, -h Yj = G ;
/Li dt
et les énualioDS des moments
^ YJi — ZS-l
dj '•^ dt dt '
Zx —lL,h-\-^
XS — Ya +\ m [x
dz dt
' dx
dt dt
dz
542. On peut transformer ces équations. En remarquant d'abord que z est constante, puisque chaqoe point décrit un cercle parallèle au plan des xy^ on a
dz
dt
De plus, en désignant par 0 l'angle que 772 K fait avec une parallèle à l'axe des x menée par le point R, on a
.r = /'cos5, r = /'sinG<,
d'où l'on déduit
dx dt
jw.
dt
puisque —n'est autre chose que la vitesse angulaire fôo
dt
Oii aura donc
' dx m — = i lit
I dy ^ ( dt
Xi etyi désignant les coordonnées du centre de gravité du corps entier, et M la masse totale du système. D'après cela, les équations d'équilibre deviennent
X + w Mj, + X, H- X^ = G,
Y— wM^, H- Y, +Y2 =o,
Za — XJi~
niyz = o,
Ya H-
La dernière, équation, ne contenant pas les composantes des résistances aux points O et H, sera l'équation du mouvement, c'est-à-dire qu'elle déterminera la vitesse angulaire 0). On en tire
Ya — X6
ci cette valeur de co s'accorde avec la formule
eu désignant par v la projection de la vitesse V sur un plan perpejidicuiaire à l'axe. En effet ixujest le moment par rapport à l'axe Oz de la percussion appliquée au corps, au point du plan xOj qui a pour coordonnées
iSa COURS DE MÉCANIQUE.
a, s, et Ton sait que ce moment est aussi représenté par
Ya— Xg.
543. Les équations (6) et (7) déterminent X2 etla- Les équations (3) et (4) feront ensuite connaître Xi et Yj. L'équation (5) donnera la somme Zi -f-Za. On ne peut pas déterminer séparément Zi et Z^, parce que ces deux forces agissent suivant la même droite Oz et se composent en une seule égale à leur somme. Si l'on fait varier la distance /?, les équations (6) et (7) montrent queXa et Ya varient en raison inverse de h.
CONDITIONS POUR QUE l'axE k'ÉPROUVE AUCUNE PERCUSSION CENTRE DE PERCUSSION.
54i. Proposons-nous maintenant de chercher les conditions qui doivent être remplies pour que l'axe n'éprouve aucune percussion. Il faut pour cela que les composantes des résistances soient toutes nulles. Si l'on introduit ces hypothèses dans les cinq premières équations (542), elles deviennent
X + «Mj,
Y — wM.r,
> mxz
L'équation Z = o exprime que la percussion appliquée à la masse fA doit agir dans un plan perpendiculaire à l'axe. Les deux dernières expriment que Oz doit être l'un des axes principaux d'inertie relatifs au point O.
545. Pour interpréter les équations (i) et (2), faisons passer le plan des xz par le centre de gravité de tout le
OUARAKTE ET UNIÈME LEÇOIÏ. ï53
corps 5 alors on a
yi = O, ^1 :=: Gï :=: a,
et les deux premières conditions deviennent X = o, Y=wM«..
La première indique que la percussion se réduit à sa composante Y, puisque l'on a déjà Z = o, c'est-à-dire que la percussion doit être perpendiculaire au plan zQG qui passe par l'axe et par le centre de gravité du corps. La seconde va nous donner la valeur de /", c'est-à-dire la plus courte dislance de cette force à l'axe; car on a
et l'équation Y = wMa devient
pf = — ■ Ma
d'où
Ma
Soit MA^ le moment d'inertie par rapport à un axe mené par le centre de gravité G du corps et parallèle à
Oz : on a
et, par conséquent,
f=aA
546. En résumé, on a les trois conditions suivantes pour que l'axe n'éprouve aucune percussion :
2° La direction de la percussion doit être perpendicu-
l54 COURS DE MÉCAlNlQUE.
îaire au plan qui passe par l'axe fixe et par le centre de gravité du corps.
2° Cet axe doit être un des axes principaux pour le point où il rencontre le plan qui lui est perpendiculaire et qui contient la force instantanée.
3° Enfin la distance de cette force à l'axe doit être
égale à rt H -, a étant la distance du centre de gravité
du corps cà l'axe et MA"^ le moment d'inertie du corps relativement à un axe mené par ce centre de gravité parallèlement à l'axe fixe.
647. On appelle centre de percussion le point auquel la percussion doit être appliquée dans le plan passant par l'axe et le centre de gravité pour qu'il n'y ait pas d'effort exercé sur l'axe fixe : la distance du centre de percussion
à l'axe fixe est a -\ »
Si l'axe passait par le centre de gravité, il éprouverait toujours une percussion. En effet, pour qu'il n'y ait pas d'effort exercé sur l'axe, la percussion appliquée au corps doit être égale à o)Ma (54o). Elle doit donc être nulle si a est nulle, c'est-à-dire si l'axe passe par le centre de gravité du corps : maisalorsy= oo . Le centre de percussion serait donc à l'infini.
548. Réciproquement, si le corps est en mouvement autour de l'axe, on pourra l'arrêter brusquement sans qu'il existe aucune percussion contre l'axe en appliquant au centre de percussion une force instantanée égale à &)Ma, perpendiculaire au plan mené par l'axe et par le centre de gravité du corps.
CONDITION POUR Qu'iL w'y AIT DE VEUCUSSION Qu'eK VU POINT DE l'axe.
549. Si ce point est le point H, il faut que Xj, Yi, Zj, composantes de la quantité de mouvement due à la force
QUARANTE ET UMIÈME LEÇON. l55
appliquée au point O, soient nulles, ce qui donne, en supposant j'^i = 0,0:1 = «,
X, = — X, ¥2 = — Y+wMr?, Z2=— Z:
pui
Ya — XS p.('/
tiJ ^ — ^ 9
\ mr^ \ inr-
et si Z ~- 0,
wE wD
wMrt — Y ~ X '
en posant
D = \ rii^yz, E = \ mxz.
L'équation de condition est donc
DY-l-EX = wM«.
Si en même temps D et E sont nulles, c'est-à-dire si Oz est un axe principal d'inertie pour le point O, on a.h = o et la percussion est appliquée au point O.
î5Ô COURS DE MÉCA.KIQXJE
ROTATION D'UN CORPS AUTOUR D'UN AXE (suite).
Rotation d'un corps sollicité par des forces quelconques. — Pressions sur l'axe. — Cas où il n'y a pas de forces motrices. — Cas où les forces motrices se réduisent à un couple dans un plan perpendiculaire à l'axe. — Mouvement du treuil.
ROTATION d'uj^T CORPS SOLLICITÉ PAR DES FORCES QUELCONQUES.
550. Nous allons déterminer le mouvement d'un corps assujetti à tourner autour d'un axe fixe et sollicité par des forces motrices quelconques, qui agissent d'une manière continue. Nous calculerons ensuite les pressions exercées sur l'axe à chaque instant, pressions qu'il faut bien distinguer des percussions initiales.
Soient [Jtg. 164, p. i49) X, Y, Z les composantes de la force motrice Pdu point 772 {x,j, z), qui décrit autour de l'axe Oz le cercle M777M'. Les composantes de la force effective du même point prise en sens contraire sont
dy
