PENDULE COMPOSÉ RAMENÉ AU PENDULE SIMPLE
>. Au lieu d'intégrer l'équation (2), il est préférable de comparer le mouvement du corps pesant à celui d'un pendule simple. Si le corps se réduisait à un point matériel pesant lié à un axe par une droite rigide dont on né-
QUAFiAWTE-TROlSlÈME LEÇON. I 69
glige la masse et de longueur /, l'équaiiou du mouvement serait
(1) -— + ^sm9 = o
quî se déduit de l'équation
d'^ sa ( 2) 1 — r, sm 9 = o ,
en faisant A' = o, a=zl. Supposons la longueur l déterminée par l'équation
d'où
Alors le pendule composé ou plutôt la droite AG et le pendule simple auront le même mouvement angulaire,
pourvu que les valeurs initiales de Q et de — soient les
mêmes pour ces deux corps. Ainsi, lorsc[u'un corps tourne autour d'un axe fixe et horizontal, on peut toujours assigner la longueur d'un pendule simple dont le mouvement soit le môme que celui du corps, quelle que soit d'ailleurs l'amplitude des oscillations. Si celles-ci sont très-petites, la durée d'une oscillation sera donnée par la formule
T=:7ri/-^,
qui pourra servir à déterminer g à l'aide du pendule composé, connaissant seulement la distance du centre de gravité du corps à l'axe de suspension et le moment d'inertie du corps par rapport à un axe parallèle à l'axe de suspensjou mené par le centre de gravité.
AXE D OSCILLATIOW.
S67. Si dans le plan passant par Taxe et par le centre fîegrauité du pendule on mène une droiteW>V parallèle
à cet axe et à une distance de celui-ci égale à I, chaque point f de cette droite se moui^ra comme s'il ne faisait pas partie du. corps et quil fût simplerneiit lié à r axe par une droite rigide et sans masse.
Cette propriété résulte immédiatement de l'idenlité du mouvement du pendule composé et d'un pendule simple dont la longueur est /. Il n'en est pas de même des autres points du corps plus rapprochés et plus éloignés de l'axe. Ces derniers oscillent plus vite et les premiers oscillent plus lentement que s'ils n'étaient pas liés aux autres points du corps.
La droite IBI' est nommée Vaxe d'oscillation du corps, correspondant à l'axe de suspension Oz. Le point B de cette droite situé sur la droite AG perpendiculaire à l'axe de rotation se nomme centre d^ oscillation. On l'obtient
en prolongeant AG d'une longueur égale à — ->
568. Les axes d' oscillation et de suspension sont réciproques, c'est-à-dire que si l'on faisait osciller le corps autour de IF, l'axe de suspension primitif O^ deviendrait l'axe d'oscillation. En effet, les distances du centre de gravité à l'axe de suspension et à l'axe d'oscillation donnent un produit égal à là. Donc si l'on prend celte dernière ligne droite pour axe fixe, la première deviendra l'axe d'oscillation. La longueur du pendule simple, qui fait ses oscillations dans le même temps, sera la même qu'auparavant et son mouvement sera le même.
QUAHANTE-TROISIEME LEÇON. I7I
569. D'après ce principe, étant donné l'axe de suspension d'un corps, on peut trouver, par l'expérience, l'axe d'oscillation correspondant. 11 faut, pour cela, mesurer la durée des petites oscillations d'abord autour du premier, puis autour de différents autres axes parallèles, jusqu'à ce que le temps de ces oscillations soit de nouveau le même. La distance des deux axes de suspension sera la longueur désignée par Z et fera connaître l'axe d'oscillation relatif au premier axe de suspension.
570. Il j a une infinité d'axes autour desquels les petites oscillations sont de même durée.
D'abord la valeur de / et la durée des oscillations sont les mêmes pour tous les axes de suspension parallèles entre eux et situés à égale distance du centre de gravité, puisque h et a sont les mêmes pour tous ces axes.
Ensuite, nommons A, B, C les trois moments d'inertie principaux relatifs au centre de gravité G, et appelons &.., ê, y les angles que Qz fait avec les axes principaux du point G. Le moment d'inertie par rapjtorlà GH, droite parallèle à Oz, étant représenté par M/i-, on a
MA-2= Acos^a-h Bcos^S-i- Gcos^y,
et par conséquent
A cosV. -f- B cos^S + C cos^V Ma
On peut faire varier a, a, S, y de manière que / reste constante. Il y a donc une infinité d'axes autour desquels la durée des petites oscillations est la même„
Axe de la plus courte oscillatigîn
571. On peut se proposer de trouver l'axe autour duquel la dui^ée d'une oscillation est la plus courte ou pour
1^2 COURS DE MÉCANTGUE.
lequel la longueur /est la plus petite. Supposons que l'on ait
On sait que la plus petite valeur de
A cos^ a + B cos^ § + G cos'7
est A. Il faut donc faire d'abord
(X = o , S = 90° , 7 1= 90°, d'où
Ma
Il en résulte que l'axe de suspension est perpendiculaire à l'axe du plus petit moment d'inertie relatif au centr-e de gravité. Ensuite, pour obtenir le minimum de /,
il faut égaler à zéro —, ce qui donne
da '
""^sjw '^V'
r\ ' • 1 c • , dl
yjw a un minimum, parce c|u en taisant varier «, — ne
s'évanouit qu'une seule fois en passant du négatif au positif.
QUARAJNTE-QUATRIÈME LEÇON. IjS
