PENDULE CONIQUE. ÉQUATIONS DU MOUVEMENT
572. Considérons le mouvement d'un point matériel m assujetti à se mouvoir sur la surface d'une sphère dont le centre est au point O, et dont le rayon est /. Le point m peut être simplement posé sur la surface spliérique, ou bien placé à l'extrémité d'un iîl ou d'une lige dont l'autre extrémité fixe est au point O. En désignant par N la résistance de la surface ou la tension du fil ou de la tige, et l'axe des z étant pris dans le sens de; la pesanteur, les équations du mouvement sont
d\T. '^x cl'' y Nj cPz Nz
On regarde N comme positive lorsqu'elle agit dans le sens 771 0 ou qu'elle empêche le point m de s'éloigner du centre O, et comme négative lorsqu'elle agit sur le prolongement de 777O, ou qu'elle empêche le point m de s'éloigner du centre O. On a l'équation,
pour exprimer c[ue le point 7?î reste à une distance constante / du point O.
iy4 COURS DE MÉCANIQUE.
573. On arriverait aux mêmes équations (i) par la méthode générale de Lagrange, qui donne
avec la relation
joôx -T'j'Sj -{-.zSz = o,
déduite de l'équation de condition (2). Ecrivant
et ajoutant cette équation multipliée par X avec (3), on aura
d'^ X Ix
df l
de
df l
équations qui ne diffèrent des équations (i) qu'en ce que "k remplace N. On voit que X est la tension du fil ou
l'action du fil sur 77z, puisque— ^5 —, —■> sont les composantes d'une force égale à /, dirigée suivant mO, si 1 est positive.
CAS ou LE POIJVT PESANT RESTE DANS UN PLAN HORIZONTAL.
574. Examinons d'abord le cas particulier où le point pesant m reste dans un plan horizontal. Il décrit alors un cercle intersection de ce plan et de la surface sphériciue (2), ou bien la tige décrit un cône droit dont l'axe est O.Z. On a
en appelant r la distance du point à l'axe Oz] r est le rayon du cercle.
QUARAINTE-QUATRIÈME LEÇON. 1^5
La troisième des équations (i) donne
valeur constante. On tire des deux premières idxd'^x ^ idyd-r N
'de ~ "^ 7 (^•^'^^'^ "^ "^ydj) = o,
ou / yi ^"
puisque
^ dx"^ 4- rff 2 H- r/2' dx'^ -\- df^ ^ ~ 'dt^ ~ dï^ '
-, dz , , , .
a cause de — =: o, et que 1 équation
donne
"xxdx -\- lydj = o.
La vitesse v est donc constante et le mouvement circulaire est uniforme. Cela résulte aussi de l'équation
qui donne
dt' -^ de
„ , ^ dy dx
ou iSt. - X.
di)
dt ' ^^<^dp "'
d'où l'on tire une valeur de ^ proportionnelle au tempsfX-t ^^ (p étant l'angle que fait le plan zOin avec le plan zOj ,
575, Il faut encore une équation. On a
X d'^ X -\- y d"^ y Nf-î^^H-j^
di^ l
Or en différentiant l'équation
xdx -\- ydy =zQ
on a
xd'^w -+- yd'^^Y d.r^ -+- dy-
Don
ou
di^ dt-
Nr2 ,
en remplaçant N par sa valeur--- Ou a donc
De plus,
et aussi
- = — = NsinO,
6 désignant l'angle que la droite Om fait avec la verticale Oz.
On voit que la force centripète - est la résultante des deux forces N et g. La durée de la révolulion est
27rr
576. On peut obtenir ces résultats d'une autre manière. Le point m se meut comme un point libre qui serait
sollicité par la force tangentielle — et par la force centrifuge f= - • D'après le principe de d'Âlembert, ces forces
(*) En effet, on tire des premières équations (i) — i — =0.
QUARAWTE-QUATRIÈME LEÇON. I 77
prises en. sens contraire, et le poids de la molécule doivent donner une résultante qui sera détruite par la résistance de la surface sphérique ou du fil. Alors la force tangentielle perpendiculaire au plan mOz doit être nulle, ce qui donne la vitesse u constante. En outre, on doit avoir
k r l' d'où
f2 sfr s si
comme plus haut.
