MAXIMUM ET MINIMUM DE LA VALEUR DE Z
581. Si l'on égale à zéro le polynôme sous le radical, on aura la plus grande ou la plus petite valeur de z quand t varie. Cette équation,
(f) [l^ — z'^){z-~ Zt^+ h^) — (/2 — z^)ÂoCOs'so = o,
l8o COURS DE MÉCANIQUE.
étant du troisième degré, a au moins une racine réelle. Mais, par la natur'^ du problème, z ne peut avoir un maximum sans avoir un minimum et vice versa. T}owc les trois racines doivent être réelles. En effet, si dans ce rnôme on attribue à z les valeurs
on trouve
d'où l'on voit qu'il y a trois valeurs réelles de z qui réduisent à zéro ce polynôme : une première a comprise entre / et Zf^, une seconde h comprise entre Zo et Zq — h^ et une troisième négative — c entre — /et — oo , de telle sorte que c est^/. Ainsi l'on a en décomposant le premier membre en facteurs
(/' — 2^) (3 — Z„ + h,) - {U — S^) /ZoCOS'So
= {a-z){z — b){z-\-c), d'où, en développant et comparant,
{a H- b)c — ab = P, abc r= [P — 3^)^ocos'£o -+- P{zo ~ K).
On tire de la seconde équation P + ab
puis de la première
, P—a'—b'^ — ah ha — Zo = c — a — 0= -, ?
et de la troisième
{P — Zl) ha COS' Si) = —r
quAkante-quAtrième leçon. i8i
Par suite l'équation (7), 11° 580, devient
±ldz (2) dt —
La variable z restera comprise entre a et b, comme sa valeur initiale z^,, car si l'on supposait que z devînt ^ a
ou <" b. la valeur de — - deviendrait imasinaire. Ainsi a
sera la valeur maximum de ^ et & sa valeur minimum. Si d'abord on prend z ^r^zb, quand t croîtra, z croîtra depuis b jusqu'à a, et deviendra égale à a au bout d'un temps t' égal à l'intégrale de la valeur dt prise depuis z =& jusqu'à 2 = a. Ensuite, après ce temps t\ z décroîtra en allant de rt à ^ dans un intervalle de temps égal à t' . Puis z croîtra de nouveau de ^ à a dans un nouvel intervalle de temps égal à f', et ainsi de suite. De sorte que z est une fonction périodique de t, dont la période est it' .
expression du temps employé a parcourir un arc de
LA trajectoire.
582. Puisque z doit toujours être comprise entre b ela, nous pouvons poser
ou
z = a cos'ç H- b sin-<j);
de là résulte
dz:= — 2. [a — b) sinç costp d<j a — z =z: [a — b) sin^(fi, z — b =1^ [a — /-') cos^q),
d'oùj abstraction faite du signe,
dz .
l8a COURS CE MÉCANIQUE.
Si l'on porte cette valeur dans l'équation (2), n° 581, on a
OU
V s sl{a-[-b) z-\- P + ab
En remplaçant z par
rt cos^© + 6 sin'ip, ou a — [a — 6)sin^ç, on trouve
(2) dt = l\ ~~
+ 2.ab -+- a^) OU bien dt
V/(/' + 2a6 + a^) cos''(p -I- (/2 -+- lab -+- b^) sin.'
583. Le temps pour aller d'un point ^ = o à un autre point z = a s'obtiendra en intégrant cette formule entre les limites ê et oc. Le temps nécessaire pour aller du point le plus haut au point le plus bas ou du point le plus bas au point le plus haut est
g{r--\-'2ab-hd')J^ ^i — y'sin^ç en posant
Si l'on développe -7===F== par la formule du bi- •^ y/i — 7'sm^^ '■
nome, si l'on remplace ensuite les puissances de siuus
QUATlANTE-QUATRIÈME LEÇON. l83
qui entrent dans le développement par leurs valeurs en fonction des cosinus des multiples decp, on trouve en intégrant
V â'(^= + 2«6+«')L Va/ ^ ^V2.4y ^ J
084. On peut avoir des valeurs entre lesquelles ce temps est compris en reprenant la formule (i)
+ b) z ->r l^ + ab Comme z est comprise entre a et b^ on a
dt<l^ /^^"-^^^ ^^
dt^l
d'où
S sj {a -\- b) a ->r P -i(- ab
2(fl H- b)
2 V giP + 2«è+ 6^)'
2(rt 4- 6)
[/2 -i-2flZ> -ha')
l84 COURS DE MÉCANIQUE.
PENDULE CONIQUE (suite). - MOUVEMENT D'UNE TIGE PESANTE.
Calcul de l'angle^. — Valeur de la tension. — Cas où le pendule s'écarte peu delà verticale. — Mouvement d'une tige pesante tournant autour d'un de ses points qui est fixe.
CALCUL DE l'angle tp.
