XI1J

Pige».

- Tg * = NI. Tfî a

x == 0 — u. sin 2 « + t- sin 4a — . - 3 - . sin Ga 4- etc.

'là O

dans cette formule u = t—

Développement de sin x :

sin x = x — 4- 12 .j 4 5 — • ■ •

Développement de cos x :

cos x 1 OTîTî ‘ ’

Développement de e X et de a X . . .

Étude des séries

Caractère de convergence d’une série. . -

Théorème i. — Lorsque les termes d’une série sont alternativement positifs et négatifs, et qu’ils décroissent indéfiniment, la série est convergente et le premier terme négligé représente

l’approximation. ■ . . .

Lorsque les termes d’une série sont tous positifs, il ne suffit pas qu’ils décroissent indéfiniment pour que la série soit convergente

Théorème II — Lorsque dans une série, à partir d’un certain terme, le rapport d’un terme au précédent a une limite déterminée inférieure à l’unité, cette série est convergente; elle- est

divergente si cette limite est plus grande que l'unité

Erreur commise en s’arrêtant à un terme ......

Théorème III. — On peut toujours prendre n assez grand, quel

que soit x, de telle sorte que l'expression — - devienne

moindre que toute quantité donnée

Théorème IV. — Si la série à termes positifs

est convergente et si A 0 , A,, A a , ..... A„ sont des nombres constants assujettis à ne pas dépasser un maximum A, la série

A 0 t, + A,t, A„t„ est convergente. . .

Théorème. — Si dans le développement de f(x + h ), on fait xcn,e t si pour, cette valeur, toutes les dérivées successives ont des valeurs finies, on pourra toujours donner à A une valeur assez petite pour qu’un terme quelconque du développement soit plus grand que la somme de tous ceux qui -le suivent.

mij

lign

Des expressions fractionnaires qui pour certaine hypothèse deviennent g. *

Règle. Si f[a) =r o, K(«) = o. Lira £[-) = C.,-1^1 . . . , . 130

Exemples 132

Des expressions fractionnaires qui deviennent ^ pour une certaine hypothèse de la variable . 135

Conditions de maximum ou de minimum d’une fonction f(x).~ Conditions de maximum j ^ ’’ T ' — °’

Conditions de minimum j ^ | J ' °‘

Applications . . 138

Différentielle de l’arc d’une courbe plane :

dt = \/ dx 1 ~hdij > , dt r’4- ^J—.di • . 142

Différentielle de l’airo d’une courbe plane

d\ = y.dx, d\ = i r* di. . 144

De lu courbure et du raijim de courbure.

Si l’on considère deux éléments rectiligucs consécutifs d’une courbe située dans le voisinage d’un point: l’inclinéison du second élément sur le premier, est la déviation de ce second élément par "rapport au premier, c’estla.courbure de la courbe au point considéré.

La courbure d’une courbe en un point est donc mesurée par l’augle que font entre eux deux éléments consécutifs pris dans le voisinage du point; or ces éléments prolongés sont la tangente an point de la courbe cl la tangente infiniment voisine; par suite « étant l’angle que la tangente à la courbe fait avec Taxe des x, lu courbure est représentée par l’angle du.

Et si l’on convient de rapporter l’angle du à Tare dt que soustendent ces deux éléments consécutifs, on dira que la courbure

de la courbe est mesurée par le rapport T"’.

La courbure du cercle est constante et égale à l’inverse du rayon. 145

t’.ercle de courbure en un point d’une courbe quelconque. . . ■ 146

Calcul «lu rayon de courbure d'une courbe dont l'équatiou est ■donnée :

Piges

d* y dx *

, x est variable indépendante.

R = i x est variable dépendante. . .

d* y dx — dyd‘x

Du centre de courbure. — 11 est dans la concavité de la courbe.. 149 Rayon de courbure d’une courbe rapportée à des coordonnées polaires :

dr'-

l)e l’ interpolation.

Définition et formation des différences successives des termes

d'une suite ■ ISO

Problème. — Connaissant le premier terme d’une suite et les différences successives de ce terme , calculer un terme quelconque

de la suite. 151

But de l'interpolation. — Formule d'interpolation :

“* = + ~~K Au «

etc...

on limite cette suite, en y supposant nulies la différence d’un

certain ordre et les différences suivantes " . • •

Application numérique. . . . . . . . . • • • • ••

Représentation graphique d’une fonction

Notions générales sur la construction des racines réelles des équations de forme quelcontjue à une inconnue

Courbe des erreurs