ÉLÉMENTS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL
ilérivée et différentielle.
La limite du rapport de l’accroissement d’une fonction', à l’accroissement correspondant de la variable, est une quantité générale-
. ment finie et déterminée ■ 01
La limite de ce rapport est appelée la dérivée de la fonction; cette dérivée représente géométriquement ; la tangente de l’angle «
que la tangente à la courbe fait avec l’axe des x OR
Loi de formation de la dérivée d’une fonction entière ‘ f(x) = Ax"4- Bx"-4- ... f (x) = mA*’" -l + (m — 1) Rr'" - * 60
La dérivée d’une constante est nulle 03
Théorème 1. — Suivant que la dérivée d’une fonction est positive; ou négative, la fonction est croissante on décroissante. . . . ïl)
Théorème 11. — Lorsque pour une valeur finie de la variable, une, fonction est tinic et a une dérivée finie, la fonction est continue. Il
Digitizèd by Googli
xi*
P«Rrs-
Théorème 111. Si pour toutes les valeurs que l'on petit donner
à la variable dans l’intervalle de a à h, uue fonction conserve
toujours la même valeur ; sa dérivée est constamment nulle pour
les valeurs de x comprises entre a et h
Théorème IV. — Si pour des valeurs de la variable æ,‘ comprises
dans l'intervalle de a et i, deux fonctions ne diffèrent que par
une constante ; leurs dérivées sont constamment égales pour Us
valeurs de la variable comprises entre a et h
Différentielle d’une fonction
f(x) df (a-) = f'(x). Ax rf.r = at.
df (x) =/ ’(*). dx.
sa représentation géométrique
Expression générale de l’équation de la tangente à une courbe quelconque y = f[ s), en un point de cette courbe
V — «/' = gf ( * — *' )• • . • • • • • îfi
Principe des fonctions de fonctions :
La différentielle d'une fonction f [u) ; u étant une variable dépendante a encore pour expression
f (u) du 77
Extension du principe des fonctions, de fonctions à un nombre
quelconque de fonctions 77
Extension de la notation différentielle. 78
Hèqln de lu différentiation des fonction» explicites d'une seule variable.
Différentielle d’nne somme. s
</ ( u + t? -F- te -h ....) ~ du 4 - de -F- die 4- 79
Différentielle d'un produit d’une constante par une fonction dau — adu.
•en d'autres termes : on peut faire sortir un facteur constant en
delrors du signe d , ■ . tMf
Différentielle d’un produit :
dur. ic... ~ v. te... du -+- u. te... de -+- ...
Itèjjle : considérez dans le produit chaque fonction comme seule variable, les autres comme constantes, appliquez dans chaque cas le principe dnu =. udu et laites la soguuo des différentielles ainsi
obtenues. Kl
Différentielle d’une puissance • . •
du'" — mil" 1-1 du, «nielle nue soit la constante ni 'ICI
Différentielle d’un radical.
NX
fine».
Différentielle d’un quotient.
Hz) = rJ ^’- •• • • *
bifférentialian des fonction* transcendantes.
Différentielle de Log x.
ii du . , , du
d Log « = — . Log «... d log u — — 8G
différentielle de a" ( « étant variable ).
da U = a* log a.du 87
Différentielle de u* ( u et r étant variables ) 88
Différentielle de sin «.
d sin i* = cos udu. . . .’ : 88
Différentielle de cos «.
1 d cos u — — sin udu 89
Différentielle de Tg «.
d Tg u = — ^ — 89
COS* n
Hifprentiation des fonctions circulaires.
d arc sin n — — f X ~ '90
j du
d arc cos u = === 90
d arc Tg u — ■ - ». 91
Exemples de différentiation 9:1
Différentielle d'une fonction de plusieurs fondions de la variable indépendante
d f{-u, v, ir...\ — . du -f . de + . die...
' • ' du dv ihc
Règle : considérez chaque fonction comme seule variable, les autres
comme constantes: differentie: dans chaque cas et faites la somme
de toutes les différentielles ainsi lilitenues . ‘ 98
En mples de différentiation 100
Différentiation des fonctions implicites. . . . ; 102
IXj
Différentielles des ordres supérieurs, des fonctions explicites d’une seule variable. . ,
Si x est variable indépendante, dx est constant. En effet, si l'on donne à la variablo indépendante un accroissement ax, \x sera un nombre arbitraire et variable; la limite de ax ou dx sera donc en quelque sorte le premier nombre que l’on obtiendra par la pensée, si I on imagine la suite que forment les nombres en partant de zéro et en croissant par degrés infiniment petits. dx est donc un nombre que l’on peut considérer comme
constant
Exemples de différentiations successives. . . 106
Série de Taylor.
f(x+h) = f[x) + hr (a-) + ^ 2 f'\x)+...+ r ±—f^ x] .. no
Série de Mac-Laurin.
l(x)=f( 0 )+x.f'{ 0 )+ ~ f"{ o)+... + o y .,., w f*(0). m Série de Taylor à deux variables ;
f(æ + h,y + k) = f(x,y) r hhf'[x,y + m x
y) + PA*
+)QM. ..... 113
Application * des séries de Taylor et de Mac-Laurin.
Développement de Log ( x + h ).
Lo S (x + h)-Lo S x + Lo e e[j — ~^ + ^ + :..y . . (, 3
Série au moyen de laquelle on calcule les logarithmes des nombres :
■ Log (n+l) = Logn+2Logr
Développements de log { 1 -+- x ), log { 1 — . x J
Expressions du sinus et du cosinus d’un arc, eu fonction des exponentielles imaginaires : . • •
sin x :
Développement en série de l’expression :
xi/— 1 — «l/— 1-
cos x'— -- . 115
ANALYSE
