V. Soit à calculer : I x \/x — x’dx

ou a : . '

J'.x l/x— x’dx =. J* , 7 J — (.«!— d*. . . (i).

L'inspection du radical montre que m — | doit être moindre que|,

nous poserons donc :

1 1 . ' , ' 1 . . , . , x — s = s sin? d ou x — ô ( 1 + sin? ).

El en difTérentiam dx = g cos» d- f .

L’équation (1) devient donc par substitution :

J x yjx—x 1 dx = J ÿ(i 4- sin? ) |/ i — £ sin J ? . ^ cos? d» = , ■ a: I ~(i -r sin? ) c©»*? d? «v .

= g J cos 2 ? d? 4- g J cos*? sin? d? =

gj cos’? dy — 1 Ç cfts’? d co»f. .. . (2)

or, on 3 trouvé (intég. n” III, page 169) :

f cos'a- dx — i sin x cos * +

en outre :

J cos J f d eus f

I équation (2) devient donc par substitution :

J r \/x—.? dx = siiif cos* ~h — ^ cos 3 ? 4- C. Or, l'équation x — ^ ^ sin? donne :

sin$> = 2x — 1, cos? = y/ 4x ix t 2

■ ? = arc sin (2x — 1).

en sorte que l'équation (3) devient finalement :

,/ x \/x, — x } dx = 2 (2x — 1) l/a; — x 7 4- ^ arc sin (2a: — 1)-

-, gj 8 (a: — x 1 ) x 1 4- C.

= 2Ï y* — r* 4- jg arc sin (2x — 1) 4- C.